微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 1.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 1.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \sec (x)$

解题步骤 5

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\sec (lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sec (0)$

解题步骤 7

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

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