微积分学示例

$lim_{x \to 8} x \sqrt{x^{2} + 2 x} - 2 \sqrt{x^{2} + x} + x$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} x \sqrt{x^{2} + 2 x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 3

将极限移入根号内。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 2 x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - 2 lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 8

将极限移入根号内。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - 2 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 11

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - 2 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 11.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \cdot \sqrt{8^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - 2 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 11.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \cdot \sqrt{8^{2} + 2 \cdot 8} - 2 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 11.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \cdot \sqrt{8^{2} + 2 \cdot 8} - 2 \sqrt{8^{2} + lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 11.5

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \cdot \sqrt{8^{2} + 2 \cdot 8} - 2 \sqrt{8^{2} + 8} + lim_{x \to 8} x$

解题步骤 11.6

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \cdot \sqrt{8^{2} + 2 \cdot 8} - 2 \sqrt{8^{2} + 8} + 8$

解题步骤 12

化简每一项。

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解题步骤 12.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 \cdot \sqrt{64 + 2 \cdot 8} - 2 \sqrt{8^{2} + 8} + 8$

解题步骤 12.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$8 \cdot \sqrt{64 + 16} - 2 \sqrt{8^{2} + 8} + 8$

解题步骤 12.3

将 $64$ 和 $16$ 相加。

$8 \cdot \sqrt{80} - 2 \sqrt{8^{2} + 8} + 8$

解题步骤 12.4

将 $80$ 重写为 $4^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 12.4.1

从 $80$ 中分解出因数 $16$ 。

$8 \cdot \sqrt{16 (5)} - 2 \sqrt{8^{2} + 8} + 8$

解题步骤 12.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$8 \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{8^{2} + 8} + 8$

解题步骤 12.5

从根式下提出各项。

$8 \cdot (4 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{8^{2} + 8} + 8$

解题步骤 12.6

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$32 \sqrt{5} - 2 \sqrt{8^{2} + 8} + 8$

解题步骤 12.7

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$32 \sqrt{5} - 2 \sqrt{64 + 8} + 8$

解题步骤 12.8

将 $64$ 和 $8$ 相加。

$32 \sqrt{5} - 2 \sqrt{72} + 8$

解题步骤 12.9

将 $72$ 重写为 $6^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 12.9.1

从 $72$ 中分解出因数 $36$ 。

$32 \sqrt{5} - 2 \sqrt{36 (2)} + 8$

解题步骤 12.9.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$32 \sqrt{5} - 2 \sqrt{6^{2} \cdot 2} + 8$

解题步骤 12.10

从根式下提出各项。

$32 \sqrt{5} - 2 (6 \sqrt{2}) + 8$

解题步骤 12.11

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$32 \sqrt{5} - 12 \sqrt{2} + 8$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$32 \sqrt{5} - 12 \sqrt{2} + 8$

小数形式：

$62.58361253 \dots$

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