微积分学示例

$lim_{x \to 8} 729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

解题步骤 1

计算 $729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $2 n^{3} + 3 n^{2} + n$ 中分解出因数 $n$ 。

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解题步骤 2.1.1.1.1

从 $2 n^{3}$ 中分解出因数 $n$ 。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.1.2

从 $3 n^{2}$ 中分解出因数 $n$ 。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.1.3

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n^{1}}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.1.4

从 $n^{1}$ 中分解出因数 $n$ 。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.1.5

从 $n (2 n^{2}) + n (3 n)$ 中分解出因数 $n$ 。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.1.6

从 $n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1$ 中分解出因数 $n$ 。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1.1

从 $3 n$ 中分解出因数 $3$ 。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 (n) + 1)}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.2.1.2

把 $3$ 重写为 $1$ 加 $2$

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + (1 + 2) n + 1)}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.2.1.3

运用分配律。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 1 n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.2.1.4

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$729 - 729 \frac{n ((2 n^{2} + n) + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$729 - 729 \frac{n (n (2 n + 1) + 1 (2 n + 1))}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 n + 1$ 来因式分解多项式。

$729 - 729 \frac{n ((2 n + 1) (n + 1))}{6 n^{3}}$

$729 - 729 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 729$ 中分解出因数 $3$ 。

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

解题步骤 2.1.2.2

从 $6 n^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

解题步骤 2.1.2.3

约去公因数。

$729 + 3 \cdot - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

解题步骤 2.1.2.4

重写表达式。

$729 - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$

解题步骤 2.1.3

组合 $- 243$ 和 $\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$ 。

$729 + \frac{- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{3}}$

解题步骤 2.1.4

约去 $n$ 和 $n^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))$ 中分解出因数 $n$ 。

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{2 n^{3}}$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $2 n^{3}$ 中分解出因数 $n$ 。

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$729 + \frac{- 243 ((2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.1.5

将负号移到分数的前面。

$729 - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.2

要将 $729$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ 。

$729 \cdot \frac{2 n^{2}}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.3

组合 $729$ 和 $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ 。

$\frac{729 (2 n^{2})}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{729 (2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

从 $729 \cdot 2 n^{2} - 243 (2 n + 1) (n + 1)$ 中分解出因数 $243$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

从 $729 \cdot 2 n^{2}$ 中分解出因数 $243$ 。

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.1.2

从 $- 243 (2 n + 1) (n + 1)$ 中分解出因数 $243$ 。

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))$ 中分解出因数 $243$ 。

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{243 (6 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.3

运用分配律。

$\frac{243 (6 n^{2} + (- (2 n) - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.6

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 n - 1) (n + 1)$ 。

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解题步骤 2.5.6.1

运用分配律。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n (n + 1) - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.6.2

运用分配律。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.6.3

运用分配律。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.7.1.1

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 2.5.7.1.1.1

移动 $n$ 。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 (n \cdot n) - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.7.1.1.2

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.7.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.7.1.3

将 $- 1 n$ 重写为 $- n$ 。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.7.2

从 $- 2 n$ 中减去 $n$ 。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.8

从 $6 n^{2}$ 中减去 $2 n^{2}$ 。

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.9

分组因式分解。

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解题步骤 2.5.9.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ 并且它们的和为 $b = - 3$ 。

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解题步骤 2.5.9.1.1

从 $- 3 n$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 (n) - 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.9.1.2

把 $- 3$ 重写为 $1$ 加 $- 4$

$\frac{243 (4 n^{2} + (1 - 4) n - 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.9.1.3

运用分配律。

$\frac{243 (4 n^{2} + 1 n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.9.1.4

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$\frac{243 (4 n^{2} + n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.9.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.5.9.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{243 ((4 n^{2} + n) - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.9.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{243 (n (4 n + 1) - (4 n + 1))}{2 n^{2}}$

解题步骤 2.5.9.3

通过因式分解出最大公因数 $4 n + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{243 ((4 n + 1) (n - 1))}{2 n^{2}}$

$\frac{243 (4 n + 1) (n - 1)}{2 n^{2}}$

微积分学 示例

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