微积分学示例

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - \ln ({(x)}^{x})$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

解题步骤 1.2

将极限移入对数中。

$\ln (lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将 ${(x + 1)}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ 。

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

解题步骤 2.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x + 1)}^{x})$ 。

$\ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

将极限移入指数中。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

解题步骤 3.3

将极限移入对数中。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

解题步骤 3.4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

解题步骤 3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

解题步骤 3.6

将极限移入对数中。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{x})$

解题步骤 4

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 4.1

将 ${(x)}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({(x)}^{x})}$ 。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{x})})$

解题步骤 4.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x)}^{x})$ 。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x)})$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

将极限移入指数中。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x)})$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

解题步骤 5.3

将极限移入对数中。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

解题步骤 6

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

解题步骤 6.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

解题步骤 6.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

解题步骤 6.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (8)})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}}{e^{8 \cdot \ln (8)}})$

解题步骤 7.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{8 \cdot \ln (8)}$ 移动到分子。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} e^{- 8 \cdot \ln (8)})$

解题步骤 7.3

通过指数相加将 $e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}$ 乘以 $e^{- 8 \cdot \ln (8)}$ 。

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解题步骤 7.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)})$

解题步骤 7.3.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (9) - 8 \cdot \ln (8)})$

解题步骤 7.3.3

化简每一项。

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解题步骤 7.3.3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $8 \ln (9)$ 。

$\ln (e^{\ln (9^{8}) - 8 \cdot \ln (8)})$

解题步骤 7.3.3.2

对 $9$ 进行 $8$ 次方运算。

$\ln (e^{\ln (43046721) - 8 \cdot \ln (8)})$

解题步骤 7.3.3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 8 \ln (8)$ 。

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (8^{8})})$

解题步骤 7.3.3.4

对 $8$ 进行 $8$ 次方运算。

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (16777216)})$

解题步骤 7.3.4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (e^{\ln (\frac{43046721}{16777216})})$

解题步骤 7.4

使用对数规则把 $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ 移到指数外部。

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \ln (e)$

解题步骤 7.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \cdot 1$

解题步骤 7.6

将 $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

小数形式：

$0.94226428 \dots$

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