微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}} + \sqrt{3 x^{5} - x}}{x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 2 x^{2}} + \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 3

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 8

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{lim_{x \to 8} 3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{lim_{x \to 8} 3 x^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 10

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 lim_{x \to 8} x^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $x^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

解题步骤 12

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x^{4}}$

解题步骤 13

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x^{4}}$

解题步骤 14

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

解题步骤 15

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 15.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

解题步骤 15.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

解题步骤 15.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

解题步骤 15.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

解题步骤 15.5

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

解题步骤 15.6

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16

化简答案。

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解题步骤 16.1

化简分子。

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解题步骤 16.1.1

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{512 + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{512 + 2 \cdot 64} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.3

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$\frac{\sqrt{512 + 128} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.4

将 $512$ 和 $128$ 相加。

$\frac{\sqrt{640} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.5

将 $640$ 重写为 $8^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 16.1.5.1

从 $640$ 中分解出因数 $64$ 。

$\frac{\sqrt{64 (10)} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.5.2

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{8^{2} \cdot 10} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.6

从根式下提出各项。

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.7

对 $8$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{3 \cdot 32768 - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.8

将 $3$ 乘以 $32768$ 。

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{98304 - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.9

从 $98304$ 中减去 $8$ 。

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{98296}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.10

将 $98296$ 重写为 $2^{2} \cdot 24574$ 。

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解题步骤 16.1.10.1

从 $98296$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{4 (24574)}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.10.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{2^{2} \cdot 24574}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.1.11

从根式下提出各项。

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{8^{3} + 8^{4}}$

解题步骤 16.2

化简分母。

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解题步骤 16.2.1

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{512 + 8^{4}}$

解题步骤 16.2.2

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{512 + 4096}$

解题步骤 16.2.3

将 $512$ 和 $4096$ 相加。

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{4608}$

解题步骤 16.3

约去 $8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}$ 和 $4608$ 的公因数。

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解题步骤 16.3.1

从 $8 \sqrt{10}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{24574}}{4608}$

解题步骤 16.3.2

从 $2 \sqrt{24574}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 \sqrt{10}) + 2 (\sqrt{24574})}{4608}$

解题步骤 16.3.3

从 $2 (4 \sqrt{10}) + 2 (\sqrt{24574})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 \sqrt{10} + \sqrt{24574})}{4608}$

解题步骤 16.3.4

约去公因数。

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解题步骤 16.3.4.1

从 $4608$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 \sqrt{10} + \sqrt{24574})}{2 (2304)}$

解题步骤 16.3.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (4 \sqrt{10} + \sqrt{24574})}{2 \cdot 2304}$

解题步骤 16.3.4.3

重写表达式。

$\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{24574}}{2304}$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{24574}}{2304}$

小数形式：

$0.07352867 \dots$

微积分学 示例

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