微积分学示例

$lim_{x \to - 8} \frac{9 x^{6} - x}{(x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

解题步骤 3

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{9 lim_{x \to - 8} x^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{6}$ 的指数 $6$ 移到极限外。

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x^{3} + 1 \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{(lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 8$ 时此极限值为常数。

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

解题步骤 9

将极限移入根号内。

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - x}}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

解题步骤 11

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 lim_{x \to - 8} x^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $x^{6}$ 的指数 $6$ 移到极限外。

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

解题步骤 13

将 $- 8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{9 {(- 8)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

解题步骤 13.2

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

解题步骤 13.3

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

解题步骤 13.4

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

解题步骤 13.5

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简分子。

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解题步骤 14.1.1

对 $- 8$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{9 \cdot 262144 + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

解题步骤 14.1.2

将 $9$ 乘以 $262144$ 。

$\frac{2359296 + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

解题步骤 14.1.3

将 $2359296$ 和 $8$ 相加。

$\frac{2359304}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

解题步骤 14.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.1

对 $- 8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2359304}{(- 512 + 1) \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

解题步骤 14.2.2

将 $- 512$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

解题步骤 14.2.3

对 $- 8$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{9 \cdot 262144 + 8}}$

解题步骤 14.2.4

将 $9$ 乘以 $262144$ 。

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2359296 + 8}}$

解题步骤 14.2.5

将 $2359296$ 和 $8$ 相加。

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2359304}}$

解题步骤 14.2.6

将 $2359304$ 重写为 $2^{2} \cdot 589826$ 。

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解题步骤 14.2.6.1

从 $2359304$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{4 (589826)}}$

解题步骤 14.2.6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2^{2} \cdot 589826}}$

解题步骤 14.2.7

从根式下提出各项。

$\frac{2359304}{- 511 \cdot 2 \sqrt{589826}}$

解题步骤 14.2.8

将 $- 511$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2359304}{- 1022 \sqrt{589826}}$

解题步骤 14.3

约去 $2359304$ 和 $- 1022$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1

从 $2359304$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1179652)}{- 1022 \sqrt{589826}}$

解题步骤 14.3.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.2.1

从 $- 1022 \sqrt{589826}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1179652)}{2 (- 511 \sqrt{589826})}$

解题步骤 14.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1179652}{2 (- 511 \sqrt{589826})}$

解题步骤 14.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1179652}{- 511 \sqrt{589826}}$

解题步骤 14.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$

解题步骤 14.5

将 $\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}}$ 。

$- (\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}} \cdot \frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}})$

解题步骤 14.6

合并和化简分母。

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解题步骤 14.6.1

将 $\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}}$ 。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \sqrt{589826} \sqrt{589826}}$

解题步骤 14.6.2

移动 $\sqrt{589826}$ 。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 (\sqrt{589826} \sqrt{589826})}$

解题步骤 14.6.3

对 $\sqrt{589826}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 ({\sqrt{589826}}^{1} \sqrt{589826})}$

解题步骤 14.6.4

对 $\sqrt{589826}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 ({\sqrt{589826}}^{1} {\sqrt{589826}}^{1})}$

解题步骤 14.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {\sqrt{589826}}^{1 + 1}}$

解题步骤 14.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {\sqrt{589826}}^{2}}$

解题步骤 14.6.7

将 ${\sqrt{589826}}^{2}$ 重写为 $589826$ 。

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解题步骤 14.6.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{589826}$ 重写成 $589826^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {(589826^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.6.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 14.6.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 14.6.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.6.7.4.1

约去公因数。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 14.6.7.4.2

重写表达式。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{1}}$

解题步骤 14.6.7.5

计算指数。

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826}$

解题步骤 14.7

约去 $1179652$ 和 $589826$ 的公因数。

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解题步骤 14.7.1

从 $1179652 \sqrt{589826}$ 中分解出因数 $589826$ 。

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{511 \cdot 589826}$

解题步骤 14.7.2

约去公因数。

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解题步骤 14.7.2.1

从 $511 \cdot 589826$ 中分解出因数 $589826$ 。

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{589826 \cdot 511}$

解题步骤 14.7.2.2

约去公因数。

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{589826 \cdot 511}$

解题步骤 14.7.2.3

重写表达式。

$- \frac{2 \sqrt{589826}}{511}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{2 \sqrt{589826}}{511}$

小数形式：

$- 3.00587593 \dots$

微积分学 示例

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