微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{(x - 2) (2 x - 3)}{(3 x + 2) (4 x - 1)}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} (x - 2) (2 x - 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} x - 2 \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

解题步骤 4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

解题步骤 6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

解题步骤 7

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} 3 x + 2 \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

解题步骤 10

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

解题步骤 11

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

解题步骤 12

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (lim_{x \to 8} 4 x - lim_{x \to 8} 1)}$

解题步骤 13

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1)}$

解题步骤 14

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 15

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 15.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 15.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 15.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 15.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16

化简答案。

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解题步骤 16.1

约去 $8 - 1 \cdot 2$ 和 $3 \cdot 8 + 2$ 的公因数。

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解题步骤 16.1.1

将 $8$ 重写为 $- 1 (- 8)$ 。

$\frac{(- 1 (- 8) - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.1.2

从 $- 1 \cdot 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- 1 (- 8) - 1 (2)) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.1.3

从 $- 1 (- 8) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.1.4

从 $- 1 (- 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.1.5

约去公因数。

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解题步骤 16.1.5.1

从 $(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 ((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1))}$

解题步骤 16.1.5.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 ((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1))}$

解题步骤 16.1.5.3

重写表达式。

$\frac{- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.2

化简分子。

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解题步骤 16.2.1

合并指数。

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解题步骤 16.2.1.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 1 (- 4 + 1) (16 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 1 (- 4 + 1) (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot - 3 (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.2.3

从 $16$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 1 \cdot - 3 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.2.4

合并指数。

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解题步骤 16.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.2.4.2

将 $3$ 乘以 $13$ 。

$\frac{39}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.3

化简分母。

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解题步骤 16.3.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{39}{(12 + 1) (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.3.2

将 $12$ 和 $1$ 相加。

$\frac{39}{13 (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.3.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{39}{13 (32 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 16.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{39}{13 (32 - 1)}$

解题步骤 16.3.5

从 $32$ 中减去 $1$ 。

$\frac{39}{13 \cdot 31}$

解题步骤 16.4

将 $13$ 乘以 $31$ 。

$\frac{39}{403}$

解题步骤 16.5

约去 $39$ 和 $403$ 的公因数。

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解题步骤 16.5.1

从 $39$ 中分解出因数 $13$ 。

$\frac{13 (3)}{403}$

解题步骤 16.5.2

约去公因数。

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解题步骤 16.5.2.1

从 $403$ 中分解出因数 $13$ 。

$\frac{13 \cdot 3}{13 \cdot 31}$

解题步骤 16.5.2.2

约去公因数。

$\frac{13 \cdot 3}{13 \cdot 31}$

解题步骤 16.5.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{31}$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{31}$

小数形式：

$0.09677419 \dots$

微积分学 示例

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