微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{a x^{4} + b x^{2} + c}{d x^{5} + e x^{3} + f x}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} a x^{4} + b x^{2} + c}{lim_{x \to 8} d x^{5} + e x^{3} + f x}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} a x^{4} + lim_{x \to 8} b x^{2} + lim_{x \to 8} c}{lim_{x \to 8} d x^{5} + e x^{3} + f x}$

解题步骤 3

因为项 $a$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{a lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} b x^{2} + lim_{x \to 8} c}{lim_{x \to 8} d x^{5} + e x^{3} + f x}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{a {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} b x^{2} + lim_{x \to 8} c}{lim_{x \to 8} d x^{5} + e x^{3} + f x}$

解题步骤 5

因为项 $b$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{a {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + b lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} c}{lim_{x \to 8} d x^{5} + e x^{3} + f x}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{a {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + b {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} c}{lim_{x \to 8} d x^{5} + e x^{3} + f x}$

解题步骤 7

计算 $c$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{a {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + b {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + c}{lim_{x \to 8} d x^{5} + e x^{3} + f x}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{a {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + b {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + c}{lim_{x \to 8} d x^{5} + lim_{x \to 8} e x^{3} + lim_{x \to 8} f x}$

解题步骤 9

因为项 $d$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{a {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + b {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + c}{d lim_{x \to 8} x^{5} + lim_{x \to 8} e x^{3} + lim_{x \to 8} f x}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $x^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

$\frac{a {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + b {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + c}{d {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + lim_{x \to 8} e x^{3} + lim_{x \to 8} f x}$

解题步骤 11

因为项 $e$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{a {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + b {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + c}{d {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + e lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} f x}$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{a {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + b {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + c}{d {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + e {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} f x}$

解题步骤 13

因为项 $f$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{a {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + b {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + c}{d {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + e {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + f lim_{x \to 8} x}$

解题步骤 14

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{a \cdot 8^{4} + b {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + c}{d {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + e {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + f lim_{x \to 8} x}$

解题步骤 14.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{a \cdot 8^{4} + b \cdot 8^{2} + c}{d {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + e {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + f lim_{x \to 8} x}$

解题步骤 14.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{a \cdot 8^{4} + b \cdot 8^{2} + c}{d \cdot 8^{5} + e {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + f lim_{x \to 8} x}$

解题步骤 14.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{a \cdot 8^{4} + b \cdot 8^{2} + c}{d \cdot 8^{5} + e \cdot 8^{3} + f lim_{x \to 8} x}$

解题步骤 14.5

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{a \cdot 8^{4} + b \cdot 8^{2} + c}{d \cdot 8^{5} + e \cdot 8^{3} + f \cdot 8}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{a \cdot 4096 + b \cdot 8^{2} + c}{d \cdot 8^{5} + e \cdot 8^{3} + f \cdot 8}$

解题步骤 15.1.2

将 $4096$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{4096 \cdot a + b \cdot 8^{2} + c}{d \cdot 8^{5} + e \cdot 8^{3} + f \cdot 8}$

解题步骤 15.1.3

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4096 a + b \cdot 64 + c}{d \cdot 8^{5} + e \cdot 8^{3} + f \cdot 8}$

解题步骤 15.1.4

将 $64$ 移到 $b$ 的左侧。

$\frac{4096 a + 64 b + c}{d \cdot 8^{5} + e \cdot 8^{3} + f \cdot 8}$

解题步骤 15.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.1

从 $d \cdot 8^{5} + e \cdot 8^{3} + f \cdot 8$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 15.2.1.1

从 $d \cdot 8^{5}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{4096 a + 64 b + c}{8 (d \cdot 8^{4}) + e \cdot 8^{3} + f \cdot 8}$

解题步骤 15.2.1.2

从 $e \cdot 8^{3}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{4096 a + 64 b + c}{8 (d \cdot 8^{4}) + 8 (e \cdot 8^{2}) + f \cdot 8}$

解题步骤 15.2.1.3

从 $f \cdot 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{4096 a + 64 b + c}{8 (d \cdot 8^{4}) + 8 (e \cdot 8^{2}) + 8 \cdot f}$

解题步骤 15.2.1.4

从 $8 (d \cdot 8^{4}) + 8 (e \cdot 8^{2})$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{4096 a + 64 b + c}{8 (d \cdot 8^{4} + e \cdot 8^{2}) + 8 \cdot f}$

解题步骤 15.2.1.5

从 $8 (d \cdot 8^{4} + e \cdot 8^{2}) + 8 \cdot f$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{4096 a + 64 b + c}{8 (d \cdot 8^{4} + e \cdot 8^{2} + f)}$

解题步骤 15.2.2

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{4096 a + 64 b + c}{8 (d \cdot 4096 + e \cdot 8^{2} + f)}$

解题步骤 15.2.3

将 $4096$ 移到 $d$ 的左侧。

$\frac{4096 a + 64 b + c}{8 (4096 \cdot d + e \cdot 8^{2} + f)}$

解题步骤 15.2.4

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4096 a + 64 b + c}{8 (4096 d + e \cdot 64 + f)}$

解题步骤 15.2.5

将 $64$ 移到 $e$ 的左侧。

$\frac{4096 a + 64 b + c}{8 (4096 d + 64 e + f)}$

微积分学 示例

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