微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{a x^{4}}{d x^{3}} + \frac{b x^{2}}{e x^{2}} + \frac{c}{f x} + \frac{1}{g}$

解题步骤 1

简化。

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解题步骤 1.1

约去 $x^{4}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1

从 $a x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{x^{3} (a x)}{d x^{3}} + \frac{b x^{2}}{e x^{2}} + \frac{c}{f x} + \frac{1}{g}$

解题步骤 1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

从 $d x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{x^{3} (a x)}{x^{3} d} + \frac{b x^{2}}{e x^{2}} + \frac{c}{f x} + \frac{1}{g}$

解题步骤 1.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 8} \frac{x^{3} (a x)}{x^{3} d} + \frac{b x^{2}}{e x^{2}} + \frac{c}{f x} + \frac{1}{g}$

解题步骤 1.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 8} \frac{a x}{d} + \frac{b x^{2}}{e x^{2}} + \frac{c}{f x} + \frac{1}{g}$

解题步骤 1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to 8} \frac{a x}{d} + \frac{b x^{2}}{e x^{2}} + \frac{c}{f x} + \frac{1}{g}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to 8} \frac{a x}{d} + \frac{b}{e} + \frac{c}{f x} + \frac{1}{g}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} \frac{a x}{d} + lim_{x \to 8} \frac{b}{e} + lim_{x \to 8} \frac{c}{f x} + lim_{x \to 8} \frac{1}{g}$

解题步骤 3

因为项 $\frac{a}{d}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{a}{d} lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} \frac{b}{e} + lim_{x \to 8} \frac{c}{f x} + lim_{x \to 8} \frac{1}{g}$

解题步骤 4

计算 $\frac{b}{e}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{a}{d} lim_{x \to 8} x + \frac{b}{e} + lim_{x \to 8} \frac{c}{f x} + lim_{x \to 8} \frac{1}{g}$

解题步骤 5

因为项 $\frac{c}{f}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{a}{d} lim_{x \to 8} x + \frac{b}{e} + \frac{c}{f} lim_{x \to 8} \frac{1}{x} + lim_{x \to 8} \frac{1}{g}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{a}{d} lim_{x \to 8} x + \frac{b}{e} + \frac{c}{f} \cdot \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{1}{g}$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{a}{d} lim_{x \to 8} x + \frac{b}{e} + \frac{c}{f} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{1}{g}$

解题步骤 8

计算 $\frac{1}{g}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{a}{d} lim_{x \to 8} x + \frac{b}{e} + \frac{c}{f} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{1}{g}$

解题步骤 9

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{a}{d} \cdot 8 + \frac{b}{e} + \frac{c}{f} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{1}{g}$

解题步骤 9.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{a}{d} \cdot 8 + \frac{b}{e} + \frac{c}{f} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{g}$

解题步骤 10

化简每一项。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{a}{d}$ 和 $8$ 。

$\frac{a \cdot 8}{d} + \frac{b}{e} + \frac{c}{f} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{g}$

解题步骤 10.2

将 $8$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{8 \cdot a}{d} + \frac{b}{e} + \frac{c}{f} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{g}$

解题步骤 10.3

将 $\frac{c}{f}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{8 a}{d} + \frac{b}{e} + \frac{c}{f \cdot 8} + \frac{1}{g}$

解题步骤 10.4

将 $8$ 移到 $f$ 的左侧。

$\frac{8 a}{d} + \frac{b}{e} + \frac{c}{8 f} + \frac{1}{g}$

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