微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 - \cos (x)}}$

Step 1

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{\sqrt{1 - \cos (x)}}$

Step 2

制作一个表格展示函数 $\frac{x}{\sqrt{1 - \cos (x)}}$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{x}{\sqrt{1 - \cos (x)}} \\ - 0.1 & - 1.41480298 \\ - 0.01 & - 1.41421945 \\ - 0.001 & - 1.41421362 \end{array}$

Step 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $- 1.414$ 。因此， $\frac{x}{\sqrt{1 - \cos (x)}}$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $- 1.414$ 。

$- 1.414$

Step 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{1 - \cos (x)}}$

Step 5

制作一个表格展示函数 $\frac{x}{\sqrt{1 - \cos (x)}}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{x}{\sqrt{1 - \cos (x)}} \\ 0.1 & 1.41480298 \\ 0.01 & 1.41421945 \\ 0.001 & 1.41421362 \end{array}$

Step 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1.414$ 。因此， $\frac{x}{\sqrt{1 - \cos (x)}}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1.414$ 。

$1.414$

Step 7

因为左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例