微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{{(5 x^{4} - 4 x + 3)}^{3}}{{(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} {(5 x^{4} - 4 x + 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

解题步骤 2

使用极限幂法则把 ${(5 x^{4} - 4 x + 3)}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 8} 5 x^{4} - 4 x + 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 8} 5 x^{4} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

解题步骤 4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(5 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

解题步骤 6

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

解题步骤 7

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 ${(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(lim_{x \to 8} 5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(lim_{x \to 8} 5 x^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 2)}^{4}}$

解题步骤 10

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 2)}^{4}}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 2)}^{4}}$

解题步骤 12

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 2)}^{4}}$

解题步骤 13

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 2)}^{4}}$

解题步骤 14

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 15

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 15.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(5 \cdot 8^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 15.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(5 \cdot 8^{4} - 4 \cdot 8 + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 15.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(5 \cdot 8^{4} - 4 \cdot 8 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 15.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(5 \cdot 8^{4} - 4 \cdot 8 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 16

化简答案。

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解题步骤 16.1

化简分子。

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解题步骤 16.1.1

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{{(5 \cdot 4096 - 4 \cdot 8 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 16.1.2

将 $5$ 乘以 $4096$ 。

$\frac{{(20480 - 4 \cdot 8 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 16.1.3

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{{(20480 - 32 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 16.1.4

从 $20480$ 中减去 $32$ 。

$\frac{{(20448 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 16.1.5

将 $20448$ 和 $3$ 相加。

$\frac{20451^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 16.1.6

对 $20451$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8553495793851}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 16.2

化简分母。

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解题步骤 16.2.1

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8553495793851}{{(5 \cdot 512 - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 16.2.2

将 $5$ 乘以 $512$ 。

$\frac{8553495793851}{{(2560 - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 16.2.3

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8553495793851}{{(2560 - 3 \cdot 64 - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 16.2.4

将 $- 3$ 乘以 $64$ 。

$\frac{8553495793851}{{(2560 - 192 - 1 \cdot 2)}^{4}}$

解题步骤 16.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8553495793851}{{(2560 - 192 - 2)}^{4}}$

解题步骤 16.2.6

从 $2560$ 中减去 $192$ 。

$\frac{8553495793851}{{(2368 - 2)}^{4}}$

解题步骤 16.2.7

从 $2368$ 中减去 $2$ 。

$\frac{8553495793851}{2366^{4}}$

解题步骤 16.2.8

对 $2366$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8553495793851}{31337111377936}$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{8553495793851}{31337111377936}$

小数形式：

$0.27295099 \dots$

微积分学 示例

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