微积分学示例

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

解题步骤 1.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

解题步骤 1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 。

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ 转换成 $\cot (3 x)$ 。

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $90$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

解题步骤 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

解题步骤 2.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

解题步骤 3

将 $90$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

解题步骤 4

考虑左极限。

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $\tan (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $90$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $90$ 时，函数值趋于 $- 1.995$ 。因此， $\tan (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $90$ 时的极限为 $- 1.995$ 。

$- 1.995$

解题步骤 7

考虑右极限。

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

解题步骤 8

制作一个表格展示函数 $\tan (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $90$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $90$ 时，函数值趋于 $- 1.995$ 。因此， $\tan (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $90$ 时的极限为 $- 1.995$ 。

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

将 $3$ 乘以 $90$ 。

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

解题步骤 10.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

解题步骤 10.3

$\cot (90)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 1.995 \cdot 0$

解题步骤 10.4

将 $- 1.995$ 乘以 $0$ 。

$0$

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