微积分学示例

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\cot (x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 1.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$lim_{x \to 90} \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$lim_{x \to 90} \sec (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$lim_{x \to 90} \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $90$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 90} \sec (x) \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 90^{-}} \sec (x)$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $\sec (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $90$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 89.9 & - 2.80438537 \\ 89.99 & - 2.27732646 \\ 89.999 & - 2.23623899 \\ 89.9999 & - 2.23222151 \\ 89.99999 & - 2.23182065 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $90$ 时，函数值趋于 $- 2.232$ 。因此， $\sec (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $90$ 时的极限为 $- 2.232$ 。

$- 2.232$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 90^{+}} \sec (x)$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $\sec (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $90$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 90.1 & - 1.86885896 \\ 90.01 & - 2.18822675 \\ 90.001 & - 2.22733326 \\ 90.0001 & - 2.23133094 \\ 90.00001 & - 2.2317316 \\ 90.000001 & - 2.23177167 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $90$ 时，函数值趋于 $- 2.232$ 。因此， $\sec (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $90$ 时的极限为 $- 2.232$ 。

$- 2.232 \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

解题步骤 9

考虑左极限。

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

解题步骤 10

制作一个表格展示函数 $\tan (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $90$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $90$ 时，函数值趋于 $- 1.995$ 。因此， $\tan (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $90$ 时的极限为 $- 1.995$ 。

$- 1.995$

解题步骤 12

考虑右极限。

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

解题步骤 13

制作一个表格展示函数 $\tan (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $90$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

解题步骤 14

当 $x$ 趋于 $90$ 时，函数值趋于 $- 1.995$ 。因此， $\tan (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $90$ 时的极限为 $- 1.995$ 。

$- 2.232 \cdot - 1.995$

解题步骤 15

将 $- 2.232$ 乘以 $- 1.995$ 。

$4.45284$

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