微积分学示例

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{π}{x})$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

解题步骤 1.2

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

解题步骤 1.3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\cos (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\cos (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (π \frac{1}{8})$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

组合 $π$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\cos (\frac{π}{8})$

解题步骤 3.2

$\cos (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

解题步骤 3.2.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

解题步骤 3.2.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

解题步骤 3.2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 3.2.5

化简 $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 3.2.5.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 3.2.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.2.5.4

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.5.4.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

解题步骤 3.2.5.5

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 3.2.5.6

化简分母。

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解题步骤 3.2.5.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 3.2.5.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

小数形式：

$0.92387953 \dots$

微积分学 示例

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