微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{4} (x)}{x^{3}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{4} (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

使用极限幂法则把 $\sin^{4} (x)$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{4}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin^{4} (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{4}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{3}}$

解题步骤 1.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{4} (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sin^{3} (x) \cos (x)}{3 x^{2}}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x) \cos (x)}{x^{2}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin^{3} (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2

使用极限幂法则把 $\sin^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\sin^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\sin^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\sin^{3} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\sin^{3} (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.6.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{0^{3} \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 3.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{4}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{4}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x) \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin^{3} (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4

通过指数相加将 $\sin^{3} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

移动 $\sin (x)$ 。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{3} (x)$ 。

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解题步骤 3.3.4.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 移到 $\sin^{4} (x)$ 的左侧。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.6

将 $- 1 \sin^{4} (x)$ 重写为 $- \sin^{4} (x)$ 。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{4} (x) + \cos (x) \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.7.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{4} (x) + \cos (x) \cdot 3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.8

将 $3$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{4} (x) + 3 \cdot \cos (x) \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{4} (x) + 3 \cos (x) \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{4} (x) + 3 \cos^{1} (x) \cos (x) \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.11

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{4} (x) + 3 \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{4} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.14

重新排序项。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)}{2 x}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)}{x}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} \sin^{4} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} \sin^{4} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} \sin^{4} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.4

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} \sin^{4} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} \sin^{4} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.6

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} - lim_{x \to 0} \sin^{4} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.7

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin^{4} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.8

使用极限幂法则把 $\sin^{4} (x)$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{4}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - \sin^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.10

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.10.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cos^{2} (0) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - \sin^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.10.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cos^{2} (0) \cdot \sin^{2} (0) - \sin^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.10.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cos^{2} (0) \cdot \sin^{2} (0) - \sin^{4} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.11

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.11.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cdot 1^{2} \cdot \sin^{2} (0) - \sin^{4} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.11.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cdot 1 \cdot \sin^{2} (0) - \sin^{4} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.11.1.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cdot \sin^{2} (0) - \sin^{4} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.11.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cdot 0^{2} - \sin^{4} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.11.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{3 \cdot 0 - \sin^{4} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.11.1.6

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 - \sin^{4} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.11.1.7

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 - 0^{4}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.11.1.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.11.1.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.11.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos^{2} (x)$ 且 $g (x) = \sin^{2} (x)$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos^{2} (x) \cdot 2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.3.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos^{2} (x) \cdot 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos^{2} (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 5.3.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos^{2} (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos^{2} (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.5.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos^{2} (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos^{2} (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.7

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 5.3.3.7.1

移动 $\cos (x)$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos (x) \cos^{2} (x) \cdot 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.7.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.3.3.7.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos^{1} (x) \cos^{2} (x) \cdot 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 ({\cos (x)}^{1 + 2} \cdot 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (\cos^{3} (x) \cdot 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.8

将 $2$ 移到 $\cos^{3} (x)$ 的左侧。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cdot \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) \cdot - 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.10

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 5.3.3.10.1

移动 $\sin (x)$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.10.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.3.3.10.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.10.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) \cdot - 2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin^{4} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) \cdot - 2 \cos (x)) - \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) \cdot - 2 \cos (x)) - \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) \cdot - 2 \cos (x)) - 1 \cdot 4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) \cdot - 2 \cos (x)) - 1 \cdot 4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) \cdot - 2 \cos (x)) - 1 \cdot 4 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) \cdot - 2 \cos (x)) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5

化简。

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解题步骤 5.3.5.1

运用分配律。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 2 \cos^{3} (x) \sin (x) + 3 \sin^{3} (x) \cdot - 2 \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.2

合并项。

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解题步骤 5.3.5.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \cos^{3} (x) \sin (x) + 3 \sin^{3} (x) \cdot - 2 \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.2.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \cos^{3} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5.2.3

从 $- 6 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 中减去 $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \cos^{3} (x) \sin (x) - 10 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \cos^{3} (x) \sin (x) - 10 \sin^{3} (x) \cos (x)}{1}$

解题步骤 5.4

用 $6 \cos^{3} (x) \sin (x) - 10 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} 6 \cos^{3} (x) \sin (x) - 10 \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 6 \cos^{3} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 10 \sin^{3} (x) \cos (x))$

解题步骤 6.2

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 10 \sin^{3} (x) \cos (x))$

解题步骤 6.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 10 \sin^{3} (x) \cos (x))$

解题步骤 6.4

使用极限幂法则把 $\cos^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 10 \sin^{3} (x) \cos (x))$

解题步骤 6.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 10 \sin^{3} (x) \cos (x))$

解题步骤 6.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 10 \sin^{3} (x) \cos (x))$

解题步骤 6.7

因为项 $10$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 10 lim_{x \to 0} \sin^{3} (x) \cos (x))$

解题步骤 6.8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 10 lim_{x \to 0} \sin^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 6.9

使用极限幂法则把 $\sin^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 10 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 6.10

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 10 \sin^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 6.11

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 10 \sin^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 10 \sin^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (0) \cdot \sin (0) - 10 \sin^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 7.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (0) \cdot \sin (0) - 10 \sin^{3} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 7.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (0) \cdot \sin (0) - 10 \sin^{3} (0) \cdot \cos (0))$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (0) \cdot \sin (0) - 10 \sin^{3} (0) \cdot \cos (0))$

解题步骤 8.1.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2} (6 \cos^{3} (0) \cdot \sin (0) - 10 \sin^{3} (0) \cdot \cos (0))$

解题步骤 8.1.3

重写表达式。

$\frac{2}{3} (6 \cos^{3} (0) \cdot \sin (0) - 10 \sin^{3} (0) \cdot \cos (0))$

解题步骤 8.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2}{3} (6 \cdot 1^{3} \cdot \sin (0) - 10 \sin^{3} (0) \cdot \cos (0))$

解题步骤 8.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{3} (6 \cdot 1 \cdot \sin (0) - 10 \sin^{3} (0) \cdot \cos (0))$

解题步骤 8.2.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} (6 \cdot \sin (0) - 10 \sin^{3} (0) \cdot \cos (0))$

解题步骤 8.2.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{2}{3} (6 \cdot 0 - 10 \sin^{3} (0) \cdot \cos (0))$

解题步骤 8.2.5

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{3} (0 - 10 \sin^{3} (0) \cdot \cos (0))$

解题步骤 8.2.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{2}{3} (0 - 10 \cdot 0^{3} \cdot \cos (0))$

解题步骤 8.2.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{3} (0 - 10 \cdot 0 \cdot \cos (0))$

解题步骤 8.2.8

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{3} (0 + 0 \cdot \cos (0))$

解题步骤 8.2.9

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2}{3} (0 + 0 \cdot 1)$

解题步骤 8.2.10

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} (0 + 0)$

解题步骤 8.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{3} \cdot 0$

解题步骤 8.4

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $0$ 。

$0$

微积分学 示例

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