微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{2 - 3 x}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $\sqrt{x^{2}} = x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}{\frac{2}{x} + \frac{- 3 x}{x}}$

解题步骤 2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}{\frac{2}{x} - 3}$

解题步骤 2.2

约去 $x^{4}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}{\frac{2}{x} - 3}$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{2}{x^{2}}}}{\frac{2}{x} - 3}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{2}{x^{2}}}}{\frac{2}{x} - 3}$

解题步骤 2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{1} + \frac{2}{x^{2}}}}{\frac{2}{x} - 3}$

解题步骤 2.2.2.4

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + \frac{2}{x^{2}}}}{\frac{2}{x} - 3}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{2}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 0}}{\frac{2}{x} - 3}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{2}{x}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 0}}{0 - 3}$

解题步骤 5

由于其分子为无穷，而分母趋于常数，因此该分式 $\frac{\sqrt{x^{2} + 0}}{0 - 3}$ 趋于负无穷。

$- \infty$

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