微积分学示例

$lim_{x \to 8} x \sin (\frac{9 π}{x})$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{9 π}{x})$

解题步骤 2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{9 π}{x})$

解题步骤 3

因为项 $9 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (9 π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (9 π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (9 π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 6

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \cdot \sin (9 π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 6.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \cdot \sin (9 π \frac{1}{8})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

乘以 $9 π \frac{1}{8}$ 。

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解题步骤 7.1.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $9$ 。

$8 \cdot \sin (\frac{9}{8} π)$

解题步骤 7.1.2

组合 $\frac{9}{8}$ 和 $π$ 。

$8 \cdot \sin (\frac{9 π}{8})$

解题步骤 7.2

$\sin (\frac{9 π}{8})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{9 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2})$

解题步骤 7.2.2

使用正弦半角公式。

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}})$

解题步骤 7.2.3

由于正弦在第三象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}})$

解题步骤 7.2.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.4.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

解题步骤 7.2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 7.2.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 7.2.4.4

在公分母上合并分子。

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 7.2.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.2.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

解题步骤 7.2.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

解题步骤 7.2.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$8 \cdot (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

解题步骤 7.2.4.8

化简分母。

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解题步骤 7.2.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$8 \cdot (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

解题步骤 7.2.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$8 \cdot (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

解题步骤 7.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

将 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$8 \cdot \frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 7.3.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4) \cdot \frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 7.3.3

约去公因数。

$2 \cdot 4 \cdot \frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 7.3.4

重写表达式。

$4 \cdot (- \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

小数形式：

$- 3.06146745 \dots$

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