微积分学示例

$lim_{x \to - 8} \frac{80}{e^{x} - 1}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

因为项 $80$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$80 lim_{x \to - 8} \frac{1}{e^{x} - 1}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$80 \frac{lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

解题步骤 1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 8$ 时此极限值为常数。

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

解题步骤 1.4

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 1}$

解题步骤 1.5

将极限移入指数中。

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 1}$

解题步骤 1.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 8$ 时此极限值为常数。

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 2

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$80 \frac{1}{e^{- 8} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分母。

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解题步骤 3.1.1

将 $e^{- 8}$ 重写为 ${(e^{- 4})}^{2}$ 。

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 3.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{- 4}$ 和 $b = 1$ 。

$80 \frac{1}{(e^{- 4} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

解题步骤 3.1.4

化简。

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解题步骤 3.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

解题步骤 3.1.4.2

将 $e^{- 4}$ 重写为 ${(e^{- 2})}^{2}$ 。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1)}$

解题步骤 3.1.4.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1^{2})}$

解题步骤 3.1.4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{- 2}$ 和 $b = 1$ 。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((e^{- 2} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

解题步骤 3.1.4.5

化简。

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解题步骤 3.1.4.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

解题步骤 3.1.4.5.2

将 $e^{- 2}$ 重写为 ${(e^{- 1})}^{2}$ 。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1))}$

解题步骤 3.1.4.5.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1^{2}))}$

解题步骤 3.1.4.5.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{- 1}$ 和 $b = 1$ 。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((e^{- 1} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

解题步骤 3.1.4.5.5

化简。

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解题步骤 3.1.4.5.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

解题步骤 3.1.4.5.5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + \frac{e^{4}}{e^{4}}) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

解题步骤 3.1.6

在公分母上合并分子。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

解题步骤 3.1.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + \frac{e^{2}}{e^{2}}) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

解题步骤 3.1.8

在公分母上合并分子。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

解题步骤 3.1.9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + \frac{e}{e}) (\frac{1}{e} - 1)}$

解题步骤 3.1.10

在公分母上合并分子。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1)}$

解题步骤 3.1.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1 \cdot \frac{e}{e})}$

解题步骤 3.1.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{e}{e}$ 。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} + \frac{- e}{e})}$

解题步骤 3.1.13

在公分母上合并分子。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

解题步骤 3.1.14

合并指数。

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解题步骤 3.1.14.1

将 $\frac{1 + e^{4}}{e^{4}}$ 乘以 $\frac{1 + e^{2}}{e^{2}}$ 。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4} e^{2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

解题步骤 3.1.14.2

通过指数相加将 $e^{4}$ 乘以 $e^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.14.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4 + 2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

解题步骤 3.1.14.2.2

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

解题步骤 3.1.14.3

将 $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}}$ 乘以 $\frac{1 + e}{e}$ 。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

解题步骤 3.1.14.4

通过指数相加将 $e^{6}$ 乘以 $e$ 。

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解题步骤 3.1.14.4.1

将 $e^{6}$ 乘以 $e$ 。

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解题步骤 3.1.14.4.1.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e^{1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

解题步骤 3.1.14.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6 + 1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

解题步骤 3.1.14.4.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

解题步骤 3.1.14.5

将 $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}}$ 乘以 $\frac{1 - e}{e}$ 。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e}}$

解题步骤 3.1.14.6

通过指数相加将 $e^{7}$ 乘以 $e$ 。

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解题步骤 3.1.14.6.1

将 $e^{7}$ 乘以 $e$ 。

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解题步骤 3.1.14.6.1.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e^{1}}}$

解题步骤 3.1.14.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7 + 1}}}$

解题步骤 3.1.14.6.2

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{8}}}$

解题步骤 3.2

将分子乘以分母的倒数。

$80 (1 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)})$

解题步骤 3.3

将 $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ 乘以 $1$ 。

$80 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

解题步骤 3.4

组合 $80$ 和 $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ 。

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

小数形式：

$- 80.02684601 \dots$

微积分学 示例

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