微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{\cos (x^{5})}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \cos (x^{5})}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to 8} x^{5})}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

$\frac{\cos ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 4

将极限移入根号内。

$\frac{\cos ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 5

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (8^{5})}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 5.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (8^{5})}{\sqrt{8}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $8$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{\cos (32768)}{\sqrt{8}}$

解题步骤 6.1.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$\frac{\cos (8)}{\sqrt{8}}$

解题步骤 6.1.3

计算 $\cos (8)$ 。

$\frac{0.99026806}{\sqrt{8}}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{0.99026806}{\sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{0.99026806}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.2.2

从根式下提出各项。

$\frac{0.99026806}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{0.99026806}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{0.99026806}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{0.99026806}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 6.4.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 6.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 6.4.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 6.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 6.4.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.7.4.1

约去公因数。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.4.7.4.2

重写表达式。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 6.4.7.5

计算指数。

$\frac{0.99026806 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.5

将 $0.99026806$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{1.40045053}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1.40045053}{4}$

解题步骤 6.7

用 $1.40045053$ 除以 $4$ 。

$0.35011263$

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