微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{\arctan (x)}{x + 2} \cdot (x + \sqrt{x^{2} + 2 x})$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} \frac{\arctan (x)}{x + 2} \cdot lim_{x \to 8} x + \sqrt{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot lim_{x \to 8} x + \sqrt{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2} \cdot lim_{x \to 8} x + \sqrt{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot lim_{x \to 8} x + \sqrt{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 x})$

解题步骤 6

将极限移入根号内。

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 2 x})$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x})$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 x})$

解题步骤 9

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to 8} \arctan (x)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 10

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $\arctan (x)$ 的极限值。

$\frac{\arctan (8)}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 10.2

计算 $\arctan (8)$ 。

$\frac{1.44644133}{lim_{x \to 8} x + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 10.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1.44644133}{8 + 2} \cdot (lim_{x \to 8} x + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 10.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1.44644133}{8 + 2} \cdot (8 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 10.5

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1.44644133}{8 + 2} \cdot (8 + \sqrt{8^{2} + 2 lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 10.6

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1.44644133}{8 + 2} \cdot (8 + \sqrt{8^{2} + 2 \cdot 8})$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

将 $8$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1.44644133}{10} \cdot (8 + \sqrt{8^{2} + 2 \cdot 8})$

解题步骤 11.2

用 $1.44644133$ 除以 $10$ 。

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{8^{2} + 2 \cdot 8})$

解题步骤 11.3

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{64 + 2 \cdot 8})$

解题步骤 11.3.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{64 + 16})$

解题步骤 11.3.3

将 $64$ 和 $16$ 相加。

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{80})$

解题步骤 11.3.4

将 $80$ 重写为 $4^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 11.3.4.1

从 $80$ 中分解出因数 $16$ 。

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{16 (5)})$

解题步骤 11.3.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$0.14464413 \cdot (8 + \sqrt{4^{2} \cdot 5})$

解题步骤 11.3.5

从根式下提出各项。

$0.14464413 \cdot (8 + 4 \sqrt{5})$

解题步骤 11.4

将 $0.14464413$ 乘以 $8 + 4 \sqrt{5}$ 。

$2.45088952$

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