微积分学示例

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - 5 x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

解题步骤 4

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{\frac{12 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

解题步骤 6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

解题步骤 7

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

解题步骤 9

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

解题步骤 10

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

解题步骤 12

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x^{3}}}$

解题步骤 13

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

解题步骤 14

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

解题步骤 14.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

解题步骤 14.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

解题步骤 14.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

解题步骤 15

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{12 \cdot 512 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

解题步骤 15.2

将 $12$ 乘以 $512$ 。

$\sqrt{\frac{6144 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

解题步骤 15.3

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt{\frac{6144 - 40 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

解题步骤 15.4

从 $6144$ 中减去 $40$ 。

$\sqrt{\frac{6104 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

解题步骤 15.5

将 $6104$ 和 $7$ 相加。

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

解题步骤 15.6

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 64 + 3 \cdot 8^{3}}}$

解题步骤 15.7

将 $4$ 乘以 $64$ 。

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 8^{3}}}$

解题步骤 15.8

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 512}}$

解题步骤 15.9

将 $3$ 乘以 $512$ 。

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 1536}}$

解题步骤 15.10

将 $1$ 和 $256$ 相加。

$\sqrt{\frac{6111}{257 + 1536}}$

解题步骤 15.11

将 $257$ 和 $1536$ 相加。

$\sqrt{\frac{6111}{1793}}$

解题步骤 15.12

将 $\sqrt{\frac{6111}{1793}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$ 。

$\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$

解题步骤 15.13

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.13.1

将 $6111$ 重写为 $3^{2} \cdot 679$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.13.1.1

从 $6111$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{\sqrt{9 (679)}}{\sqrt{1793}}$

解题步骤 15.13.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 679}}{\sqrt{1793}}$

解题步骤 15.13.2

从根式下提出各项。

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$

解题步骤 15.14

将 $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}} \cdot \frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$

解题步骤 15.15

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.15.1

将 $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{\sqrt{1793} \sqrt{1793}}$

解题步骤 15.15.2

对 $\sqrt{1793}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} \sqrt{1793}}$

解题步骤 15.15.3

对 $\sqrt{1793}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} {\sqrt{1793}}^{1}}$

解题步骤 15.15.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1 + 1}}$

解题步骤 15.15.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{2}}$

解题步骤 15.15.6

将 ${\sqrt{1793}}^{2}$ 重写为 $1793$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.15.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1793}$ 重写成 $1793^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{(1793^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 15.15.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 15.15.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 15.15.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.15.6.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 15.15.6.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{1}}$

解题步骤 15.15.6.5

计算指数。

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793}$

解题步骤 15.16

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.16.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 \sqrt{1793 \cdot 679}}{1793}$

解题步骤 15.16.2

将 $1793$ 乘以 $679$ 。

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

小数形式：

$1.84614580 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例