微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (x^{2})}{\sin (x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{\sin (x^{2})}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$lim_{x \to 8} \sin (x^{2}) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.2

将 $\sin (x^{2})$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (x^{2})}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

用 $\sin (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 8} \sin (x^{2}) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$lim_{x \to 8} \sin (x^{2}) \csc (x)$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} \sin (x^{2}) \cdot lim_{x \to 8} \csc (x)$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\sin (lim_{x \to 8} x^{2}) \cdot lim_{x \to 8} \csc (x)$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sin ({(lim_{x \to 8} x)}^{2}) \cdot lim_{x \to 8} \csc (x)$

解题步骤 5

因为余割函数是连续的，将极限符号移至三角函数内。

$\sin ({(lim_{x \to 8} x)}^{2}) \cdot \csc (lim_{x \to 8} x)$

解题步骤 6

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin (8^{2}) \cdot \csc (lim_{x \to 8} x)$

解题步骤 6.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin (8^{2}) \cdot \csc (8)$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sin (64) \cdot \csc (8)$

解题步骤 7.2

计算 $\sin (64)$ 。

$0.89879404 \cdot \csc (8)$

解题步骤 7.3

计算 $\csc (8)$ 。

$0.89879404 \cdot 7.18529653$

解题步骤 7.4

将 $0.89879404$ 乘以 $7.18529653$ 。

$6.45810174$

微积分学 示例

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