微积分学示例

$lim_{x \to 8} 2 + \frac{132}{x} + \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \frac{132}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

解题步骤 2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$2 + lim_{x \to 8} \frac{132}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

解题步骤 3

因为项 $132$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 + 132 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 + 132 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{lim_{x \to 8} \sin^{4} (x^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $\sin^{4} (x^{5})$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{{(lim_{x \to 8} \sin (x^{5}))}^{4}}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

解题步骤 8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} (lim_{x \to 8} x^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

解题步骤 11

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

解题步骤 11.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

解题步骤 11.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.1.1

从 $132$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 + 4 (33) \frac{1}{8} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

解题步骤 12.1.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 + 4 \cdot 33 \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

解题步骤 12.1.1.3

约去公因数。

$2 + 4 \cdot 33 \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

解题步骤 12.1.1.4

重写表达式。

$2 + 33 (\frac{1}{2}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

解题步骤 12.1.2

组合 $33$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

解题步骤 12.1.3

化简分子。

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解题步骤 12.1.3.1

对 $8$ 进行 $5$ 次方运算。

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (32768)}{8^{4}}$

解题步骤 12.1.3.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (8)}{8^{4}}$

解题步骤 12.1.3.3

计算 $\sin (8)$ 。

$2 + \frac{33}{2} + \frac{{0.1391731}^{4}}{8^{4}}$

解题步骤 12.1.3.4

对 $0.1391731$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 + \frac{33}{2} + \frac{0.00037516}{8^{4}}$

解题步骤 12.1.4

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 + \frac{33}{2} + \frac{0.00037516}{4096}$

解题步骤 12.1.5

用 $0.00037516$ 除以 $4096$ 。

$2 + \frac{33}{2} + 0.00000009$

解题步骤 12.2

求公分母。

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解题步骤 12.2.1

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{2}{1} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

解题步骤 12.2.2

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

解题步骤 12.2.3

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

解题步骤 12.2.4

将 $0.00000009$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009}{1}$

解题步骤 12.2.5

将 $\frac{0.00000009}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 12.2.6

将 $\frac{0.00000009}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009 \cdot 2}{2}$

解题步骤 12.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \cdot 2 + 33 + 0.00000009 \cdot 2}{2}$

解题步骤 12.4

化简每一项。

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解题步骤 12.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 + 33 + 0.00000009 \cdot 2}{2}$

解题步骤 12.4.2

将 $0.00000009$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 + 33 + 0.00000018}{2}$

解题步骤 12.5

将 $4$ 和 $33$ 相加。

$\frac{37 + 0.00000018}{2}$

解题步骤 12.6

将 $37$ 和 $0.00000018$ 相加。

$\frac{37.00000018}{2}$

解题步骤 12.7

用 $37.00000018$ 除以 $2$ 。

$18.50000009$

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