微积分学示例

$lim_{x \to 8} x^{\frac{6}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 $x^{\frac{6}{x}}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\frac{6}{x}})}$ 。

$lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{\frac{6}{x}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{6}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\frac{6}{x}})$ 。

$lim_{x \to 8} e^{\frac{6}{x} \ln (x)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{6}{x} \ln (x)}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{6}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

解题步骤 2.3

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{6 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{6 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$e^{6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

解题步骤 2.6

将极限移入对数中。

$e^{6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

解题步骤 3

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{6 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

解题步骤 3.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{6 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (8)}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 (3) \frac{1}{8} \cdot \ln (8)}$

解题步骤 4.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (8)}$

解题步骤 4.1.3

约去公因数。

$e^{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (8)}$

解题步骤 4.1.4

重写表达式。

$e^{3 (\frac{1}{4}) \cdot \ln (8)}$

解题步骤 4.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{\frac{3}{4} \cdot \ln (8)}$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $\ln (8)$ 。

$e^{\frac{3 \ln (8)}{4}}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e^{\frac{3 \ln (8)}{4}}$

小数形式：

$4.75682846 \dots$

微积分学 示例

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