微积分学示例

$lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + x} - \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

解题步骤 5

将极限移入根号内。

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + 1}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} 1}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} 1}$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

解题步骤 9

将 $- 8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

解题步骤 9.2

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} - 8} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

解题步骤 9.3

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} - 8} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

解题步骤 10

化简每一项。

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解题步骤 10.1

对 $- 8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt[3]{- 512 - 8} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

解题步骤 10.2

从 $- 512$ 中减去 $8$ 。

$\sqrt[3]{- 520} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

解题步骤 10.3

将 $- 520$ 重写为 ${(- 2)}^{3} \cdot 65$ 。

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解题步骤 10.3.1

从 $- 520$ 中分解出因数 $- 8$ 。

$\sqrt[3]{- 8 (65)} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

解题步骤 10.3.2

将 $- 8$ 重写为 ${(- 2)}^{3}$ 。

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3} \cdot 65} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

解题步骤 10.4

从根式下提出各项。

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

解题步骤 10.5

对 $- 8$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 512 + 1}$

解题步骤 10.6

将 $- 512$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 511}$

解题步骤 10.7

将 $- 511$ 重写为 ${(- 1)}^{3} \cdot 511$ 。

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解题步骤 10.7.1

将 $- 511$ 重写为 $- 1 (511)$ 。

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 1 (511)}$

解题步骤 10.7.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 511}$

解题步骤 10.8

从根式下提出各项。

$- 2 \sqrt[3]{65} - (- 1 \sqrt[3]{511})$

解题步骤 10.9

将 $- 1 \sqrt[3]{511}$ 重写为 $- \sqrt[3]{511}$ 。

$- 2 \sqrt[3]{65} - - \sqrt[3]{511}$

解题步骤 10.10

乘以 $- - \sqrt[3]{511}$ 。

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解题步骤 10.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sqrt[3]{65} + 1 \sqrt[3]{511}$

解题步骤 10.10.2

将 $\sqrt[3]{511}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sqrt[3]{65} + \sqrt[3]{511}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 \sqrt[3]{65} + \sqrt[3]{511}$

小数形式：

$- 0.04666324 \dots$

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