微积分学示例

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{8 x^{3} - x}{x^{3} + 1}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{8 x^{3} - x}{x^{3} + 1}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 8 x^{3} - x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

解题步骤 4

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{8 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

解题步骤 9

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

解题步骤 9.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - 8}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

解题步骤 9.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - 8}{8^{3} + 1}}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

通过指数相加将 $8$ 乘以 $8^{3}$ 。

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解题步骤 10.1.1

将 $8$ 乘以 $8^{3}$ 。

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解题步骤 10.1.1.1

对 $8$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt[3]{\frac{8^{1} \cdot 8^{3} - 8}{8^{3} + 1}}$

解题步骤 10.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt[3]{\frac{8^{1 + 3} - 8}{8^{3} + 1}}$

解题步骤 10.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\sqrt[3]{\frac{8^{4} - 8}{8^{3} + 1}}$

解题步骤 10.2

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\sqrt[3]{\frac{4096 - 8}{8^{3} + 1}}$

解题步骤 10.3

从 $4096$ 中减去 $8$ 。

$\sqrt[3]{\frac{4088}{8^{3} + 1}}$

解题步骤 10.4

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt[3]{\frac{4088}{512 + 1}}$

解题步骤 10.5

将 $512$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt[3]{\frac{4088}{513}}$

解题步骤 10.6

将 $\sqrt[3]{\frac{4088}{513}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{4088}}{\sqrt[3]{513}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{4088}}{\sqrt[3]{513}}$

解题步骤 10.7

化简分子。

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解题步骤 10.7.1

将 $4088$ 重写为 $2^{3} \cdot 511$ 。

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解题步骤 10.7.1.1

从 $4088$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{\sqrt[3]{8 (511)}}{\sqrt[3]{513}}$

解题步骤 10.7.1.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 511}}{\sqrt[3]{513}}$

解题步骤 10.7.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{513}}$

解题步骤 10.8

化简分母。

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解题步骤 10.8.1

将 $513$ 重写为 $3^{3} \cdot 19$ 。

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解题步骤 10.8.1.1

从 $513$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{27 (19)}}$

解题步骤 10.8.1.2

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19}}$

解题步骤 10.8.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$

解题步骤 10.9

将 $\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$

解题步骤 10.10

合并和化简分母。

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解题步骤 10.10.1

将 $\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

解题步骤 10.10.2

移动 $\sqrt[3]{19}$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 (\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

解题步骤 10.10.3

对 $\sqrt[3]{19}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 ({\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

解题步骤 10.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

解题步骤 10.10.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{3}}$

解题步骤 10.10.6

将 ${\sqrt[3]{19}}^{3}$ 重写为 $19$ 。

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解题步骤 10.10.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{19}$ 重写成 $19^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 10.10.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 10.10.6.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 10.10.6.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.10.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 10.10.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{1}}$

解题步骤 10.10.6.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19}$

解题步骤 10.11

化简分子。

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解题步骤 10.11.1

将 ${\sqrt[3]{19}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{19^{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} \sqrt[3]{19^{2}}}{3 \cdot 19}$

解题步骤 10.11.2

对 $19$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt[3]{511} \sqrt[3]{361}}{3 \cdot 19}$

解题步骤 10.11.3

合并指数。

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解题步骤 10.11.3.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 \sqrt[3]{361 \cdot 511}}{3 \cdot 19}$

解题步骤 10.11.3.2

将 $361$ 乘以 $511$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{3 \cdot 19}$

解题步骤 10.12

将 $3$ 乘以 $19$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{57}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{57}$

小数形式：

$1.99739752 \dots$

微积分学 示例

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