微积分学示例

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{3 + 6 x + 5 x^{2}}{1 + 64 x^{2}}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{3 + 6 x + 5 x^{2}}{1 + 64 x^{2}}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 + 6 x + 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 + lim_{x \to 8} 6 x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

解题步骤 4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{\frac{3 + lim_{x \to 8} 6 x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

解题步骤 5

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

解题步骤 6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 64 x^{2}}}$

解题步骤 9

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + lim_{x \to 8} 64 x^{2}}}$

解题步骤 10

因为项 $64$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

解题步骤 12

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

解题步骤 12.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

解题步骤 12.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 13

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 13.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 5 \cdot 64}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 13.3

将 $5$ 乘以 $64$ 。

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 320}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 13.4

将 $3$ 和 $48$ 相加。

$\sqrt[3]{\frac{51 + 320}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 13.5

将 $51$ 和 $320$ 相加。

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

解题步骤 13.6

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 64 \cdot 64}}$

解题步骤 13.7

将 $64$ 乘以 $64$ 。

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 4096}}$

解题步骤 13.8

将 $1$ 和 $4096$ 相加。

$\sqrt[3]{\frac{371}{4097}}$

解题步骤 13.9

将 $\sqrt[3]{\frac{371}{4097}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$

解题步骤 13.10

将 $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

解题步骤 13.11

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.11.1

将 $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{\sqrt[3]{4097} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

解题步骤 13.11.2

对 $\sqrt[3]{4097}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{1} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

解题步骤 13.11.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{1 + 2}}$

解题步骤 13.11.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{3}}$

解题步骤 13.11.5

将 ${\sqrt[3]{4097}}^{3}$ 重写为 $4097$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.11.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4097}$ 重写成 $4097^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{(4097^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 13.11.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 13.11.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 13.11.5.4

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.11.5.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 13.11.5.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{1}}$

解题步骤 13.11.5.5

计算指数。

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097}$

解题步骤 13.12

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.12.1

将 ${\sqrt[3]{4097}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{4097^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{371} \sqrt[3]{4097^{2}}}{4097}$

解题步骤 13.12.2

对 $4097$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt[3]{371} \sqrt[3]{16785409}}{4097}$

解题步骤 13.13

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.13.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt[3]{371 \cdot 16785409}}{4097}$

解题步骤 13.13.2

将 $371$ 乘以 $16785409$ 。

$\frac{\sqrt[3]{6227386739}}{4097}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt[3]{6227386739}}{4097}$

小数形式：

$0.44905821 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例