微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sec (x) \csc (4 x)}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x \sec (x) \csc (4 x)}$

解题步骤 2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x \sec (x) \csc (4 x)}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \sec (x) \csc (4 x)$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $x \sec (x) \csc (4 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \sec (x) \csc (4 x) \\ - 0.1 & 0.25808258 \\ - 0.01 & 0.25007918 \\ - 0.001 & 0.25000079 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.25$ 。因此， $x \sec (x) \csc (4 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.25$ 。

$0.25$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \sec (x) \csc (4 x)$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $x \sec (x) \csc (4 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \sec (x) \csc (4 x) \\ 0.1 & 0.25808258 \\ 0.01 & 0.25007918 \\ 0.001 & 0.25000079 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.25$ 。因此， $x \sec (x) \csc (4 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.25$ 。

$\frac{1}{0.25}$

解题步骤 9

用 $1$ 除以 $0.25$ 。

$4$

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