微积分学示例

$lim_{x \to 0} \ln (x) \cot (x)$

解题步骤 1

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \ln (x) \cot (x)$

解题步骤 2

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\ln (x) \cot (x)$ 的极限值。

$\ln (0) \cot (0)$

解题步骤 2.2

将 $\cot (0)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\ln (0) \frac{\cos (0)}{\sin (0)}$

解题步骤 2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\ln (0) \frac{\cos (0)}{0}$

解题步骤 2.4

因为 $\ln (0) \frac{\cos (0)}{0}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

$不存在$

解题步骤 3

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \ln (x) \cot (x)$

解题步骤 4

计算右极限。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \ln (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)$

解题步骤 4.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x)$ 无限递减。

$- \infty \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)$

解题步骤 4.3

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$- \infty \cdot \infty$

解题步骤 4.4

无穷大乘以无穷大结果为无穷大。

$- \infty$

$- \infty$

解题步骤 5

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$