微积分学示例

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \sin (4 x) \cos (5 x)$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

解题步骤 2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

解题步骤 3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

解题步骤 4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

解题步骤 5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (4 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$lim_{x \to 0} \cot (3 x) \cdot \sin (4 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0)$

解题步骤 7

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (3 x)$

解题步骤 8

当 $x$ 的值从左侧趋于 $0$ 时，函数值无限递减。

$- \infty$

解题步骤 9

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (3 x)$

解题步骤 10

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$\infty$

解题步骤 11

因为左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

$不存在$

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