微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\tan (45 + a x))}{\sin (b x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (\tan (45 + a x))}{lim_{x \to 0} \sin (b x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} \tan (45 + a x))}{lim_{x \to 0} \sin (b x)}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\ln (\tan (lim_{x \to 0} 45 + a x))}{lim_{x \to 0} \sin (b x)}$

解题步骤 1.1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\ln (\tan (lim_{x \to 0} 45 + lim_{x \to 0} a x))}{lim_{x \to 0} \sin (b x)}$

解题步骤 1.1.2.1.4

计算 $45$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\ln (\tan (45 + lim_{x \to 0} a x))}{lim_{x \to 0} \sin (b x)}$

解题步骤 1.1.2.1.5

因为项 $a$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\ln (\tan (45 + a lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \sin (b x)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (\tan (45 + a \cdot 0))}{lim_{x \to 0} \sin (b x)}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $a$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\ln (\tan (45 + 0))}{lim_{x \to 0} \sin (b x)}$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $45$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\ln (\tan (45))}{lim_{x \to 0} \sin (b x)}$

解题步骤 1.1.2.3.3

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \sin (b x)}$

解题步骤 1.1.2.3.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (b x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} b x)}$

解题步骤 1.1.3.1.2

因为项 $b$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sin (b lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (b \cdot 0)}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $b$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 1.1.3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\tan (45 + a x))}{\sin (b x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (45 + a x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (45 + a x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \tan (45 + a x)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (45 + a x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (45 + a x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (45 + a x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\tan (45 + a x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\tan (45 + a x)} \frac{d}{d x} [\tan (45 + a x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.3

将 $\tan (45 + a x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (45 + a x)}{\cos (45 + a x)}} \frac{d}{d x} [\tan (45 + a x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (45 + a x)}{\cos (45 + a x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 \frac{\cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} \frac{d}{d x} [\tan (45 + a x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.5

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} \frac{d}{d x} [\tan (45 + a x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.6

化简。

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解题步骤 1.3.6.1

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{1 \frac{\cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} \frac{d}{d x} [\tan (45 + a x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $\frac{\cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} \frac{d}{d x} [\tan (45 + a x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 45 + a x$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $45 + a x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [45 + a x])}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.7.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [45 + a x])}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.7.3

使用 $45 + a x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} (\sec^{2} (45 + a x) \frac{d}{d x} [45 + a x])}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.8

组合 $\sec^{2} (45 + a x)$ 和 $\frac{\cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sec^{2} (45 + a x) \cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} \frac{d}{d x} [45 + a x]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.9

根据加法法则， $45 + a x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [45] + \frac{d}{d x} [a x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sec^{2} (45 + a x) \cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} (\frac{d}{d x} [45] + \frac{d}{d x} [a x])}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.10

因为 $45$ 对于 $x$ 是常数，所以 $45$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sec^{2} (45 + a x) \cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} (0 + \frac{d}{d x} [a x])}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [a x]$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sec^{2} (45 + a x) \cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} \frac{d}{d x} [a x]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.12

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sec^{2} (45 + a x) \cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)} (a \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.13

组合 $a$ 和 $\frac{\sec^{2} (45 + a x) \cos (45 + a x)}{\sin (45 + a x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a (\sec^{2} (45 + a x) \cos (45 + a x))}{\sin (45 + a x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a (\sec^{2} (45 + a x) \cos (45 + a x))}{\sin (45 + a x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.15

将 $\frac{a (\sec^{2} (45 + a x) \cos (45 + a x))}{\sin (45 + a x)}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a (\sec^{2} (45 + a x) \cos (45 + a x))}{\sin (45 + a x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.16

化简。

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解题步骤 1.3.16.1

化简分子。

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解题步骤 1.3.16.1.1

将 $\sec (45 + a x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a ({(\frac{1}{\cos (45 + a x)})}^{2} \cos (45 + a x))}{\sin (45 + a x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.16.1.2

对 $\frac{1}{\cos (45 + a x)}$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (45 + a x)} \cos (45 + a x))}{\sin (45 + a x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.16.1.3

约去 $\cos (45 + a x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.16.1.3.1

从 $\cos^{2} (45 + a x)$ 中分解出因数 $\cos (45 + a x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a (\frac{1^{2}}{\cos (45 + a x) \cos (45 + a x)} \cos (45 + a x))}{\sin (45 + a x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.16.1.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a (\frac{1^{2}}{\cos (45 + a x) \cos (45 + a x)} \cos (45 + a x))}{\sin (45 + a x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.16.1.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a \frac{1^{2}}{\cos (45 + a x)}}{\sin (45 + a x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.16.1.4

一的任意次幂都为一。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a \frac{1}{\cos (45 + a x)}}{\sin (45 + a x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.16.1.5

组合 $a$ 和 $\frac{1}{\cos (45 + a x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\frac{a}{\cos (45 + a x)}}{\sin (45 + a x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.16.2

合并项。

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解题步骤 1.3.16.2.1

将 $\frac{\frac{a}{\cos (45 + a x)}}{\sin (45 + a x)}$ 重写为乘积形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{\cos (45 + a x)} \cdot \frac{1}{\sin (45 + a x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.16.2.2

将 $\frac{a}{\cos (45 + a x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (45 + a x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (b x)]}$

解题步骤 1.3.17

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = b x$ 。

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解题步骤 1.3.17.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $b x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x)}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [b x]}$

解题步骤 1.3.17.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x)}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [b x]}$

解题步骤 1.3.17.3

使用 $b x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x)}}{\cos (b x) \frac{d}{d x} [b x]}$

解题步骤 1.3.18

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b x$ 对 $x$ 的导数是 $b \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x)}}{\cos (b x) (b \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 1.3.19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x)}}{\cos (b x) (b \cdot 1)}$

解题步骤 1.3.20

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x)}}{\cos (b x) b}$

解题步骤 1.3.21

重新排序 $\cos (b x) b$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x)}}{b \cos (b x)}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{a}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x)} \cdot \frac{1}{b \cos (b x)}$

解题步骤 1.5

将 $\frac{a}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x)}$ 乘以 $\frac{1}{b \cos (b x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{a}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x) (b \cos (b x))}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{a}{b}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{a}{b} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (45 + a x) \sin (45 + a x) (\cos (b x))}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (45 + a x) \sin (45 + a x) (\cos (b x))}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (45 + a x) \sin (45 + a x) (\cos (b x))}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (45 + a x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (45 + a x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (b x)}$

解题步骤 2.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 45 + a x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (45 + a x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (b x)}$

解题步骤 2.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 45 + lim_{x \to 0} a x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (45 + a x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (b x)}$

解题步骤 2.7

计算 $45$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (45 + lim_{x \to 0} a x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (45 + a x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (b x)}$

解题步骤 2.8

因为项 $a$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (45 + a lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (45 + a x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (b x)}$

解题步骤 2.9

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (45 + a lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 45 + a x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (b x)}$

解题步骤 2.10

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (45 + a lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 45 + lim_{x \to 0} a x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (b x)}$

解题步骤 2.11

计算 $45$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (45 + a lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (45 + lim_{x \to 0} a x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (b x)}$

解题步骤 2.12

因为项 $a$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (45 + a lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (45 + a lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (b x)}$

解题步骤 2.13

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (45 + a lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (45 + a lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} b x)}$

解题步骤 2.14

因为项 $b$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (45 + a lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (45 + a lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (b lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (45 + a \cdot 0) \cdot \sin (45 + a lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (b lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (45 + a \cdot 0) \cdot \sin (45 + a \cdot 0) \cdot \cos (b lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\cos (45 + a \cdot 0) \cdot \sin (45 + a \cdot 0) \cdot \cos (b \cdot 0)}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

分离分数。

$\frac{a}{b} (\frac{1}{\sin (45 + a \cdot 0) \cdot \cos (b \cdot 0)} \cdot \frac{1}{\cos (45 + a \cdot 0)})$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\cos (45 + a \cdot 0)}$ 转换成 $\sec (45 + a \cdot 0)$ 。

$\frac{a}{b} (\frac{1}{\sin (45 + a \cdot 0) \cdot \cos (b \cdot 0)} \sec (45 + a \cdot 0))$

解题步骤 4.3

将 $a$ 乘以 $0$ 。

$\frac{a}{b} (\frac{1}{\sin (45 + 0) \cdot \cos (b \cdot 0)} \sec (45 + a \cdot 0))$

解题步骤 4.4

将 $b$ 乘以 $0$ 。

$\frac{a}{b} (\frac{1}{\sin (45 + 0) \cdot \cos (0)} \sec (45 + a \cdot 0))$

解题步骤 4.5

将 $a$ 乘以 $0$ 。

$\frac{a}{b} (\frac{1}{\sin (45 + 0) \cdot \cos (0)} \sec (45 + 0))$

解题步骤 4.6

分离分数。

$\frac{a}{b} (\frac{1}{\cos (0)} \cdot \frac{1}{\sin (45 + 0)} \sec (45 + 0))$

解题步骤 4.7

将 $\frac{1}{\sin (45 + 0)}$ 转换成 $\csc (45 + 0)$ 。

$\frac{a}{b} (\frac{1}{\cos (0)} \csc (45 + 0) \sec (45 + 0))$

解题步骤 4.8

将 $\frac{1}{\cos (0)}$ 转换成 $\sec (0)$ 。

$\frac{a}{b} (\sec (0) \csc (45 + 0) \sec (45 + 0))$

解题步骤 4.9

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{a}{b} (1 \csc (45 + 0) \sec (45 + 0))$

解题步骤 4.10

将 $\csc (45 + 0)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a}{b} (\csc (45 + 0) \sec (45 + 0))$

解题步骤 4.11

将 $45$ 和 $0$ 相加。

$\frac{a}{b} (\csc (45) \sec (45 + 0))$

解题步骤 4.12

$\csc (45)$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{a}{b} (\sqrt{2} \sec (45 + 0))$

解题步骤 4.13

将 $45$ 和 $0$ 相加。

$\frac{a}{b} (\sqrt{2} \sec (45))$

解题步骤 4.14

$\sec (45)$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{a}{b} (\sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 4.15

约去 $\sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.15.1

约去公因数。

$\frac{a}{b} (\sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 4.15.2

重写表达式。

$\frac{a}{b} \cdot 2$

解题步骤 4.16

组合 $\frac{a}{b}$ 和 $2$ 。

$\frac{a \cdot 2}{b}$

解题步骤 4.17

将 $2$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{2 a}{b}$

微积分学 示例

微积分学示例