微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x - \frac{π}{2}}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

解题步骤 1.2

组合 $x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

解题步骤 2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \ln (\sin (x)) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (\sin (x))$ 和 $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

解题步骤 3

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

解题步骤 4

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$ 的极限值。

$\frac{\ln (\sin (0)) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

解题步骤 4.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 - π}$

解题步骤 4.3.2

从 $0$ 中减去 $π$ 。

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

解题步骤 4.3.3

零的自然对数无定义。

无定义

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- 1 (1) π}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$

解题步骤 4.6

因为 $- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 5

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

解题步骤 6

计算右极限。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x)) \cdot 2}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

解题步骤 6.2

因为函数 $\ln (\sin (x))$ 趋于 $- \infty$ ，所以正常数 $2$ 乘以函数也趋于 $- \infty$ 。

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解题步骤 6.2.1

思考去掉常数倍数 $2$ 后的极限。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

解题步骤 6.2.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (\sin (x))$ 无限递减。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

解题步骤 6.3

计算极限值。

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解题步骤 6.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - lim_{x \to 0^{+}} π}$

解题步骤 6.3.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - lim_{x \to 0^{+}} π}$

解题步骤 6.3.3

计算 $π$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - π}$

解题步骤 6.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- \infty}{2 \cdot 0 - π}$

解题步骤 6.5

化简答案。

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解题步骤 6.5.1

化简分母。

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解题步骤 6.5.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- \infty}{0 - π}$

解题步骤 6.5.1.2

从 $0$ 中减去 $π$ 。

$\frac{- \infty}{- π}$

解题步骤 6.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{- \infty}{π}$

解题步骤 6.5.3

无穷大除以任何有穷数和非零数，其结果为无穷大。

$- - \infty$

解题步骤 6.5.4

非零常数乘以无穷大结果为无穷大。

$\infty$

解题步骤 7

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

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