微积分学示例

$lim_{x \to 0} (\frac{\tan (2 x)}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{\sin (x)}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x^{3}$ 的形式。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{\sin (x)}{x}$ 乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x \cdot x^{2}}$

解题步骤 1.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1} x^{2}}$

解题步骤 1.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1 + 2}}$

解题步骤 1.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 3

因为分子是常数且当 $x$ 趋于 $0$ 时分母趋于 $0$ ，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于无穷大。

$\infty + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 4

由于 $\frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}}$ 和 $lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}} = \infty$ ，使用迫近定理。

$\infty + \infty$

解题步骤 5

无穷大加上无穷大结果为无穷大。

$\infty$

微积分学 示例

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