微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}}{h}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}}{h}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 {(x + h)}^{2} x^{3}$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 {(x + h)}^{2} x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}$ 乘以 $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 {(x + h)}^{2} x^{3}} - \frac{(x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $3 {(x + h)}^{2} x^{3}$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}} - \frac{(x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{h}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2} h}$

解题步骤 3

Since the numerator is negative and the denominator $3 x^{3} {(x + h)}^{2} h$ approaches zero and is less than zero for $x$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$

微积分学 示例

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