微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

解题步骤 1

计算 $\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1^{3}}{h}$

解题步骤 2.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1 + h$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(1 + h - 1) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{(h + 0) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.3

将 ${(1 + h)}^{2}$ 重写为 $(1 + h) (1 + h)$ 。

$\frac{h ((1 + h) (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 + h) (1 + h)$ 。

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解题步骤 2.1.3.4.1

运用分配律。

$\frac{h (1 (1 + h) + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.4.2

运用分配律。

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.4.3

运用分配律。

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.5.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{h (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.5.1.2

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{h (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.5.1.3

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{h (1 + h + h + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.5.1.4

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$\frac{h (1 + h + h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.5.2

将 $h$ 和 $h$ 相加。

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.6

将 $1 + h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1^{2})}{h}$

解题步骤 2.1.3.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1)}{h}$

解题步骤 2.1.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{h (2 h + h^{2} + 2 + h + 1)}{h}$

解题步骤 2.1.3.9

将 $2 h$ 和 $h$ 相加。

$\frac{h (3 h + h^{2} + 2 + 1)}{h}$

解题步骤 2.1.3.10

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{h (3 h + h^{2} + 3)}{h}$

解题步骤 2.1.3.11

重新排序项。

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

解题步骤 2.2

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

解题步骤 2.2.2

用 $h^{2} + 3 h + 3$ 除以 $1$ 。

$h^{2} + 3 h + 3$

微积分学 示例

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