微积分学示例

$lim_{x \to 0} (\frac{x + h + 2}{\frac{x + h - 4}{h}}) - \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x + h + 2}{\frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 4

计算 $h$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{1}{h}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} lim_{x \to 0} x + h - 4} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h - lim_{x \to 0} 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 8

计算 $h$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - lim_{x \to 0} 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 9

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 12

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

解题步骤 13

因为项 $\frac{1}{h}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} lim_{x \to 0} x - 4}$

解题步骤 14

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4)}$

解题步骤 15

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 16

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 16.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 16.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 16.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 16.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 17

化简答案。

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解题步骤 17.1

合并 $\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$ 中相反的项。

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解题步骤 17.1.1

将 $0$ 和 $h$ 相加。

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 17.1.2

将 $0$ 和 $h$ 相加。

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 17.1.3

从 $0$ 中减去 $1 \cdot 2$ 。

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 17.1.4

从 $0$ 中减去 $1 \cdot 4$ 。

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 17.2

化简每一项。

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解题步骤 17.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 17.2.2

从 $\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 4)}$ 中分解出因数 $\frac{1}{h}$ 。

$h \frac{h + 2}{h - 4} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 17.2.3

组合 $h$ 和 $\frac{h + 2}{h - 4}$ 。

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 17.2.4

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2}{\frac{1}{h} \cdot (4)}$

解题步骤 17.2.5

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 (1)}{\frac{1}{h} \cdot (4)}$

解题步骤 17.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 17.2.5.2.1

从 $\frac{1}{h} \cdot (4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 (1)}{2 (\frac{1}{h} \cdot (2))}$

解题步骤 17.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 \cdot 1}{2 (\frac{1}{h} \cdot (2))}$

解题步骤 17.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{1}{\frac{1}{h} \cdot (2)}$

解题步骤 17.2.6

组合 $\frac{1}{h}$ 和 $2$ 。

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{1}{\frac{2}{h}}$

解题步骤 17.2.7

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - (1 \frac{h}{2})$

解题步骤 17.2.8

将 $\frac{h}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{h}{2}$

解题步骤 17.3

要将 $\frac{h (h + 2)}{h - 4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{h}{2}$

解题步骤 17.4

要将 $- \frac{h}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{h - 4}{h - 4}$ 。

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{h}{2} \cdot \frac{h - 4}{h - 4}$

解题步骤 17.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(h - 4) \cdot 2$ 的形式。

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解题步骤 17.5.1

将 $\frac{h (h + 2)}{h - 4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{(h - 4) \cdot 2} - \frac{h}{2} \cdot \frac{h - 4}{h - 4}$

解题步骤 17.5.2

将 $\frac{h}{2}$ 乘以 $\frac{h - 4}{h - 4}$ 。

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{(h - 4) \cdot 2} - \frac{h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.5.3

重新排序 $(h - 4) \cdot 2$ 的因式。

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{2 (h - 4)} - \frac{h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.6

在公分母上合并分子。

$\frac{h (h + 2) \cdot 2 - h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.7

化简分子。

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解题步骤 17.7.1

从 $h (h + 2) \cdot 2 - h (h - 4)$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 17.7.1.1

从 $h (h + 2) \cdot 2$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2) - h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.7.1.2

从 $- h (h - 4)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2) + h (- (h - 4))}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.7.1.3

从 $h ((h + 2) \cdot 2) + h (- (h - 4))$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.7.2

运用分配律。

$\frac{h (h \cdot 2 + 2 \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.7.3

将 $2$ 移到 $h$ 的左侧。

$\frac{h (2 \cdot h + 2 \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.7.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{h (2 \cdot h + 4 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.7.5

运用分配律。

$\frac{h (2 h + 4 - h - - 4)}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.7.6

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{h (2 h + 4 - h + 4)}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.7.7

从 $2 h$ 中减去 $h$ 。

$\frac{h (h + 4 + 4)}{2 (h - 4)}$

解题步骤 17.7.8

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{h (h + 8)}{2 (h - 4)}$

微积分学 示例

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