微积分学示例

$lim_{x \to 0} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${\tan (x)}^{\cos (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\cos (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 2

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 3

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ 的极限值。

$e^{\cos (0) \ln (\tan (0))}$

解题步骤 3.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{1 \ln (\tan (0))}$

解题步骤 3.3

将 $\ln (\tan (0))$ 乘以 $1$ 。

$e^{\ln (\tan (0))}$

解题步骤 3.4

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\ln (0)}$

解题步骤 3.5

因为 $e^{\ln (0)}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 4

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 5

因为指数 $\cos (x) \ln (\tan (x))$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ 趋于 $0$ 。

$0$

解题步骤 6

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

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