微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (5 x)}{x^{2}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin (0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7.5

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (5 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (3 x)$ 且 $g (x) = \sin (5 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.6

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.7

将 $5$ 移到 $\sin (3 x) \cos (5 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot (\sin (3 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.8.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.8.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.11

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.12

将 $3$ 移到 $\sin (5 x) \cos (3 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + 3 \cdot (\sin (5 x) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.13

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{2 x}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{x}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.2

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} \cos (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} \cos (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.8

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.10

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.11

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.12

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.13

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.14

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.14.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.14.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.14.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.14.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.15.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.15.1.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 1 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.1.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.1.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot \sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.1.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.1.6

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.1.7

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cos (0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.1.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.1.9

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.1.10

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.1.11

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.1.12

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.15.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \cos (5 x) \sin (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\cos (5 x) \sin (3 x)]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (5 x)$ 且 $g (x) = \sin (3 x)$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 3.3.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.6.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.6.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.9

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.10

将 $3$ 移到 $\cos (3 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cdot 3 \cdot \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.11

将 $3$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cdot \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.12

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.13

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos (3 x) \sin (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (5 x)]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (3 x)$ 且 $g (x) = \sin (5 x)$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 3.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.3.2

$\sin (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\cos (u_{3})$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.3.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.3.4.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.6.2

$\cos (u_{4})$ 对 $u_{4}$ 的导数为 $- \sin (u_{4})$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.6.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.9

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.10

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.11

将 $5$ 移到 $\cos (3 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cdot \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.12

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4.13

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5

化简。

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解题步骤 3.3.5.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 3 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 3 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.3

合并项。

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解题步骤 3.3.5.3.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.3.2

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.3.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.3.4

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.3.5

重新排序 $15 \cos (5 x) \cos (3 x)$ 的因式。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.3.6

将 $15 \cos (3 x) \cos (5 x)$ 和 $15 \cos (3 x) \cos (5 x)$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.3.7

重新排序 $- 9 \sin (5 x) \sin (3 x)$ 的因式。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5.3.8

从 $- 25 \sin (3 x) \sin (5 x)$ 中减去 $9 \sin (3 x) \sin (5 x)$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)}{1}$

解题步骤 3.4

用 $30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

解题步骤 4.2

因为项 $30$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} (30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

解题步骤 4.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{2} (30 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

解题步骤 4.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

解题步骤 4.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

解题步骤 4.7

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

解题步骤 4.8

因为项 $34$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x))$

解题步骤 4.9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

解题步骤 4.10

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

解题步骤 4.11

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

解题步骤 4.12

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x))$

解题步骤 4.13

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 5.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (30 \cos (0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (30 \cdot 1 \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.3

将 $30$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (30 \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.4

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (30 \cdot \cos (0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (30 \cdot 1 - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.6

将 $30$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (30 - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.7

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (30 - 34 \sin (0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.8

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (30 - 34 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.9

将 $- 34$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot \sin (5 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.10

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot \sin (0))$

解题步骤 6.1.11

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot 0)$

解题步骤 6.1.12

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (30 + 0)$

解题步骤 6.2

将 $30$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot 30$

解题步骤 6.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot (2 (15))$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 15)$

解题步骤 6.3.3

重写表达式。

$15$

微积分学 示例

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