微积分学示例

$\int_{- 2}^{4} | 2 x - 3 | d x$

解题步骤 1

根据 $2 x - 3$ 在某些位置是正的和负的，来分解积分。

$\int_{- 2}^{\frac{3}{2}} - 2 x + 3 d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{\frac{3}{2}} - 2 x d x + \int_{- 2}^{\frac{3}{2}} 3 d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

解题步骤 3

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- 2 \int_{- 2}^{\frac{3}{2}} x d x + \int_{- 2}^{\frac{3}{2}} 3 d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + \int_{- 2}^{\frac{3}{2}} 3 d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + \int_{- 2}^{\frac{3}{2}} 3 d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} - 3 d x$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + 2 \int_{\frac{3}{2}}^{4} x d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} - 3 d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{3}{2}}^{4}) + \int_{\frac{3}{2}}^{4} - 3 d x$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{3}{2}}^{4}) + \int_{\frac{3}{2}}^{4} - 3 d x$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{3}{2}}^{4}) + - 3 x]_{\frac{3}{2}}^{4}$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $\frac{3}{2}$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$- 2 ((\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{3}{2}}^{4}) + - 3 x]_{\frac{3}{2}}^{4}$

解题步骤 12.2

计算 $3 x$ 在 $\frac{3}{2}$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{3}{2}}^{4}) + - 3 x]_{\frac{3}{2}}^{4}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $\frac{3}{2}$ 处的值。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) + - 3 x]_{\frac{3}{2}}^{4}$

解题步骤 12.4

计算 $- 3 x$ 在 $4$ 处和在 $\frac{3}{2}$ 处的值。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) + - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{4}{2}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.2.2.2

约去公因数。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.2.2.3

重写表达式。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2}{1}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 1 \cdot 2) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.4

组合 $3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{3 \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9}{2} - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.6

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9}{2} + 6 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.7

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.8

组合 $6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.9

在公分母上合并分子。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9 + 6 \cdot 2}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.10

化简分子。

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解题步骤 12.5.10.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9 + 12}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.10.2

将 $9$ 和 $12$ 相加。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{21}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.11

要将 $- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) \cdot \frac{2}{2} + \frac{21}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.12

组合 $- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) \cdot 2}{2} + \frac{21}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.13

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) \cdot 2 + 21}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.14

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.15

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{16}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.16

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.16.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.16.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.16.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.16.2.2

约去公因数。

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.16.2.3

重写表达式。

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{8}{1} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.16.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.17

要将 $2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot \frac{2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.18

组合 $2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + \frac{2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.19

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20

化简分子。

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解题步骤 12.5.20.1

用 $3$ 除以 $2$ 。

$\frac{- 4 (\frac{{1.5}^{2}}{2} - 2) + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.2

对 $1.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 4 (\frac{2.25}{2} - 2) + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.3

用 $2.25$ 除以 $2$ 。

$\frac{- 4 (1.125 - 2) + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.4

从 $1.125$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 4 \cdot - 0.875 + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.5

将 $- 4$ 乘以 $- 0.875$ 。

$\frac{3.5 + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.6

将 $3.5$ 和 $21$ 相加。

$\frac{24.5 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.7

用 $3$ 除以 $2$ 。

$\frac{24.5 + 2 (8 - \frac{{1.5}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.8

对 $1.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{24.5 + 2 (8 - \frac{2.25}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.9

用 $2.25$ 除以 $2$ 。

$\frac{24.5 + 2 (8 - 1 \cdot 1.125) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.10

将 $- 1$ 乘以 $1.125$ 。

$\frac{24.5 + 2 (8 - 1.125) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.11

从 $8$ 中减去 $1.125$ 。

$\frac{24.5 + 2 \cdot 6.875 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.12

将 $2$ 乘以 $6.875$ 。

$\frac{24.5 + 13.75 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.13

将 $13.75$ 乘以 $2$ 。

$\frac{24.5 + 27.5}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.20.14

将 $24.5$ 和 $27.5$ 相加。

$\frac{52}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.21

约去 $52$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.21.1

从 $52$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 26}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.21.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.21.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 26}{2 (1)} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.21.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 26}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.21.2.3

重写表达式。

$\frac{26}{1} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.21.2.4

用 $26$ 除以 $1$ 。

$26 - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.22

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$26 - 12 + 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 12.5.23

组合 $3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$26 - 12 + \frac{3 \cdot 3}{2}$

解题步骤 12.5.24

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$26 - 12 + \frac{9}{2}$

解题步骤 12.5.25

要将 $- 12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$26 - 12 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

解题步骤 12.5.26

组合 $- 12$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$26 + \frac{- 12 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

解题步骤 12.5.27

在公分母上合并分子。

$26 + \frac{- 12 \cdot 2 + 9}{2}$

解题步骤 12.5.28

化简分子。

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解题步骤 12.5.28.1

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$26 + \frac{- 24 + 9}{2}$

解题步骤 12.5.28.2

将 $- 24$ 和 $9$ 相加。

$26 + \frac{- 15}{2}$

解题步骤 12.5.29

将负号移到分数的前面。

$26 - \frac{15}{2}$

解题步骤 12.5.30

要将 $26$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$26 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

解题步骤 12.5.31

组合 $26$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{26 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

解题步骤 12.5.32

在公分母上合并分子。

$\frac{26 \cdot 2 - 15}{2}$

解题步骤 12.5.33

化简分子。

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解题步骤 12.5.33.1

将 $26$ 乘以 $2$ 。

$\frac{52 - 15}{2}$

解题步骤 12.5.33.2

从 $52$ 中减去 $15$ 。

$\frac{37}{2}$

解题步骤 12.5.34

约去 $37$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.34.1

将 $37$ 重写为 $1 (37)$ 。

$\frac{1 (37)}{2}$

解题步骤 12.5.34.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.34.2.1

将 $2$ 重写为 $1 (2)$ 。

$\frac{1 \cdot 37}{1 \cdot 2}$

解题步骤 12.5.34.2.2

约去公因数。

$\frac{1 \cdot 37}{1 \cdot 2}$

解题步骤 12.5.34.2.3

重写表达式。

$\frac{37}{2}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{37}{2}$

小数形式：

$18.5$

带分数形式：

$18 \frac{1}{2}$

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例