微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x) + \tan^{2} (x)}{x \sin (2 x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x) + \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.5

使用极限幂法则把 $\tan^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.6

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x) + \tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0) + \tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0) + \tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.8.1

移动 $\tan^{2} (0)$ 。

$\frac{1 + \tan^{2} (0) - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.8.2

重新整理项。

$\frac{\tan^{2} (0) + 1 - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.8.3

使用勾股恒等式。

$\frac{\sec^{2} (0) - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.8.4

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.8.4.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1^{2} - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.8.4.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.8.4.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.8.4.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.8.4.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.8.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

解题步骤 1.1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

解题步骤 1.1.3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 1.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

解题步骤 1.1.3.5.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 1.1.3.5.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x) + \tan^{2} (x)}{x \sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x) + \tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x) + \tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $1 - \cos (2 x) + \tan^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.4.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.4.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.4.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.4.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.4.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.3.5.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.5.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.5.1.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 x) + 2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.5.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 x) + 2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.6

化简。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $0$ 和 $2 \sin (2 x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x) + 2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.6.2

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.6.3

化简每一项。

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解题步骤 1.3.6.3.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.6.3.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.6.3.3

一的任意次幂都为一。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.6.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.6.3.5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.6.3.6

合并。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.6.3.7

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 1.3.6.3.7.1

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 1.3.6.3.7.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.6.3.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.6.3.7.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

解题步骤 1.3.7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (2 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.8.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.8.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.12

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1}$

解题步骤 1.3.14

将 $\sin (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)}$

解题步骤 1.3.15

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sin (2 x)}{2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

解题步骤 1.4

合并项。

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解题步骤 1.4.1

要将 $2 \sin (2 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

解题步骤 1.4.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x) + 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

解题步骤 2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) + 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1}{2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{2 \sin (x) + 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ 乘以 $\frac{1}{2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) + 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)}{\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) + 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.8

使用极限幂法则把 $\cos^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.9

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.10

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.10.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \sin (0) + 2 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.10.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \sin (0) + 2 \sin (2 \cdot 0) \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.10.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \sin (0) + 2 \sin (2 \cdot 0) \cdot \cos^{3} (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.11

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.11.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 + 2 \sin (2 \cdot 0) \cdot \cos^{3} (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.11.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 2 \sin (2 \cdot 0) \cdot \cos^{3} (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.11.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 2 \sin (0) \cdot \cos^{3} (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.11.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 + 2 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.11.1.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0 \cdot \cos^{3} (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.11.1.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 0 \cdot 1^{3}}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.11.1.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.11.1.8

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.2.11.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

解题步骤 3.1.3.2

使用极限幂法则把 $\cos^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

解题步骤 3.1.3.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

解题步骤 3.1.3.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.3.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot (2 lim_{x \to 0} x \cos (2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.3.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot (2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.3.7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot (2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.3.8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot (2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x))}$

解题步骤 3.1.3.9

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot (2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 2 x))}$

解题步骤 3.1.3.10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot (2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + \sin (2 lim_{x \to 0} x))}$

解题步骤 3.1.3.11

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.11.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot (2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + \sin (2 lim_{x \to 0} x))}$

解题步骤 3.1.3.11.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot (2 \cdot 0 \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + \sin (2 lim_{x \to 0} x))}$

解题步骤 3.1.3.11.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot (2 \cdot 0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 lim_{x \to 0} x))}$

解题步骤 3.1.3.11.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot (2 \cdot 0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 \cdot 0))}$

解题步骤 3.1.3.12

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.12.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1^{3} \cdot (2 \cdot 0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 \cdot 0))}$

解题步骤 3.1.3.12.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{1 \cdot (2 \cdot 0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 \cdot 0))}$

解题步骤 3.1.3.12.3

将 $2 \cdot 0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 \cdot 0)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 3.1.3.12.4

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.12.4.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 3.1.3.12.4.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 3.1.3.12.4.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 3.1.3.12.4.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{0 + \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 3.1.3.12.4.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

解题步骤 3.1.3.12.4.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 3.1.3.12.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.12.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.13

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) + 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)}{\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) + 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) + 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $2 \sin (x) + 2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (2 x) \cos^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x) \cos^{3} (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x) \cos^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (2 x)$ 且 $g (x) = \cos^{3} (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.3.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.4.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.5.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.5.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.8

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) (\cos (2 x) \cdot 2))}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.10

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) (2 \cdot \cos (2 x)))}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.4.11

将 $2$ 移到 $\cos^{3} (x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + 2 \cos^{3} (x) \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.5

化简。

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解题步骤 3.3.5.1

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + 2 (\sin (2 x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))) + 2 (2 \cos^{3} (x) \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.5.2

合并项。

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解题步骤 3.3.5.2.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 6 (\sin (2 x) (\cos^{2} (x) \sin (x))) + 2 (2 \cos^{3} (x) \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 6 \sin (2 x) \cos^{2} (x) \sin (x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.5.3

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x))]}$

解题步骤 3.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos^{3} (x)$ 且 $g (x) = 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)] + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.7

根据加法法则， $2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.9

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (2 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.10.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.10.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.10.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.11

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.14

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.16

将 $\cos (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.17

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.17.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.17.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.17.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.18

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.20

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 2) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.21

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + 2 \cdot \cos (2 x)) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

解题步骤 3.3.22

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.3.22.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + 2 \cos (2 x)) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

解题步骤 3.3.22.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + 2 \cos (2 x)) + (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

解题步骤 3.3.22.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

解题步骤 3.3.23

将 $3$ 移到 $2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + 2 \cos (2 x)) + 3 \cdot (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 3.3.24

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + 2 \cos (2 x)) + 3 (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \cos^{2} (x) (- \sin (x))}$

解题步骤 3.3.25

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + 2 \cos (2 x)) - 3 (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.3.26

化简。

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解题步骤 3.3.26.1

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x))) + 2 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x)) - 3 (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.3.26.2

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)))) + \cos^{3} (x) (2 \cos (2 x)) + \cos^{3} (x) (2 \cos (2 x)) - 3 (2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) \cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.3.26.3

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)))) + \cos^{3} (x) (2 \cos (2 x)) + \cos^{3} (x) (2 \cos (2 x)) + (- 3 (2 x \cos (2 x)) - 3 \sin (2 x)) \cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.3.26.4

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (2 (x (- 2 \sin (2 x)))) + \cos^{3} (x) (2 \cos (2 x)) + \cos^{3} (x) (2 \cos (2 x)) + (- 3 (2 x \cos (2 x)) \cos^{2} (x) - 3 \sin (2 x) \cos^{2} (x)) \sin (x)}$

解题步骤 3.3.26.5

运用分配律。

解题步骤 3.3.26.6

合并项。

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解题步骤 3.3.26.6.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (- 4 (x (\sin (2 x)))) + \cos^{3} (x) (2 \cos (2 x)) + \cos^{3} (x) (2 \cos (2 x)) - 3 (2 x \cos (2 x)) \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (2 x) \cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.3.26.6.2

将 $2$ 移到 $\cos^{3} (x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (- 4 x \sin (2 x)) + 2 \cdot \cos^{3} (x) \cos (2 x) + \cos^{3} (x) (2 \cos (2 x)) - 3 (2 x \cos (2 x)) \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (2 x) \cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.3.26.6.3

将 $2$ 移到 $\cos^{3} (x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (- 4 x \sin (2 x)) + 2 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cdot \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 3 (2 x \cos (2 x)) \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (2 x) \cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.3.26.6.4

将 $2 \cos^{3} (x) \cos (2 x)$ 和 $2 \cos^{3} (x) \cos (2 x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (- 4 x \sin (2 x)) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 3 (2 x \cos (2 x)) \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (2 x) \cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.3.26.6.5

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x) (- 4 x \sin (2 x)) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos (2 x) \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (2 x) \cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.3.26.7

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{- 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} - 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to 0} 6 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.3

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- 6 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.5

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{- 6 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.7

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.9

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.10

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.11

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.12

使用极限幂法则把 $\cos^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.13

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.14

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.15

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.16

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.17

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.18

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 4 x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.19

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cos^{3} (x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.20

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.21

使用极限幂法则把 $\cos^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.22

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.23

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.24

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \cos^{3} (x) \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.25

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.26

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.27

使用极限幂法则把 $\cos^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.28

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.29

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.30

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 6 x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.31

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cos^{2} (x) \cos (2 x) \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.32

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.33

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.34

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.35

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.36

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.37

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.38

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \sin (x) \sin (2 x)}$

解题步骤 4.39

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

解题步骤 4.40

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

解题步骤 4.41

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

解题步骤 4.42

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

解题步骤 4.43

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

解题步骤 4.44

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 6 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.8

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.9

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.10

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.11

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.12

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.13

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.14

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.15

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.16

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.17

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.18

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 6 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 6 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 6 \cdot 1 \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 6 \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- 6 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.5

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.7

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 \cdot 0 + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.8

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.9

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 4 \cdot 1^{3} \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.10

一的任意次幂都为一。

$\frac{0 + 4 \cdot 1 \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.11

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 4 \cdot \cos (2 \cdot 0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.12

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 4 \cdot \cos (0) + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.13

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 4 \cdot 1 + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.14

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 4 + 2 \cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.15

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 4 + 2 \cdot 1}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.16

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 4 + 2}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.17

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$\frac{4 + 2}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.18

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{6}{- 4 \cdot 0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6}{0 \cdot \cos^{3} (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{6}{0 \cdot 1^{3} \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{6}{0 \cdot 1 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6}{0 \cdot \sin (0) + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{6}{0 \cdot 0 + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.7

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6}{0 + 4 \cos^{3} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{6}{0 + 4 \cdot 1^{3} \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.9

一的任意次幂都为一。

$\frac{6}{0 + 4 \cdot 1 \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{0 + 4 \cdot \cos (2 \cdot 0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.11

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6}{0 + 4 \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.12

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{6}{0 + 4 \cdot 1 - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.13

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{0 + 4 - 6 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.14

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.15

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 \cdot 1^{2} \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.16

一的任意次幂都为一。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 \cdot 1 \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.17

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 \cdot \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.18

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 \cdot \cos (0) \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.19

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 \cdot 1 \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.20

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 \cdot \sin (0) - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.21

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 \cdot 0 - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.22

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 - 3 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.23

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 - 3 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.24

一的任意次幂都为一。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 - 3 \cdot 1 \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.25

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 - 3 \cdot \sin (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.26

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 - 3 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.27

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 + 0 \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.28

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 + 0 \cdot \sin (0)}$

解题步骤 6.2.29

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 + 0 \cdot 0}$

解题步骤 6.2.30

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6}{0 + 4 + 0 + 0}$

解题步骤 6.2.31

将 $0 + 4 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{6}{0 + 4 + 0}$

解题步骤 6.2.32

将 $0 + 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{6}{0 + 4}$

解题步骤 6.2.33

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$\frac{6}{4}$

解题步骤 6.3

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3)}{4}$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{2}$

小数形式：

$1.5$

微积分学 示例

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