微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\tan (x^{2})}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (x^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

解题步骤 1.2

将 $\sec (x - 1)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x - 1)}}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

解题步骤 1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x - 1)} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{1}{\cos (x - 1)}$ 转换成 $\sec (x - 1)$ 。

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 转换成 $\cot (x^{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cot (x^{2})$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

解题步骤 2.2

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sec (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

解题步骤 4

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x^{2})$

解题步骤 5

当 $x$ 的值从左侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$\infty$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x^{2})$

解题步骤 7

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot \infty$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sec (0 - 1) \cdot \infty$

解题步骤 8.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\sec (- 1) \cdot \infty$

解题步骤 8.3

计算 $\sec (- 1)$ 。

$1.00015232 \cdot \infty$

解题步骤 8.4

非零常数乘以无穷大结果为无穷大。

$\infty$

微积分学 示例

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