微积分学示例

$lim_{x \to 8} (\sqrt{9 x^{4} + 8}) - 3 x^{2} - \frac{3}{x^{4}} + 3$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 4

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 6

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 9

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 11

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

解题步骤 13

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

解题步骤 14

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

解题步骤 14.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

解题步骤 14.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\sqrt{9 \cdot 4096 + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

解题步骤 15.1.2

将 $9$ 乘以 $4096$ 。

$\sqrt{36864 + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

解题步骤 15.1.3

将 $36864$ 和 $8$ 相加。

$\sqrt{36872} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

解题步骤 15.1.4

将 $36872$ 重写为 $2^{2} \cdot 9218$ 。

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解题步骤 15.1.4.1

从 $36872$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{4 (9218)} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

解题步骤 15.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2} \cdot 9218} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

解题步骤 15.1.5

从根式下提出各项。

$2 \sqrt{9218} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

解题步骤 15.1.6

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \sqrt{9218} - 3 \cdot 64 - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

解题步骤 15.1.7

将 $- 3$ 乘以 $64$ 。

$2 \sqrt{9218} - 192 - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

解题步骤 15.1.8

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 \sqrt{9218} - 192 - 3 (\frac{1}{4096}) + 3$

解题步骤 15.1.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{4096}$ 。

$2 \sqrt{9218} - 192 + \frac{- 3}{4096} + 3$

解题步骤 15.1.10

将负号移到分数的前面。

$2 \sqrt{9218} - 192 - \frac{3}{4096} + 3$

解题步骤 15.2

要将 $- 192$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4096}{4096}$ 。

$2 \sqrt{9218} - 192 \cdot \frac{4096}{4096} - \frac{3}{4096} + 3$

解题步骤 15.3

组合 $- 192$ 和 $\frac{4096}{4096}$ 。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 192 \cdot 4096}{4096} - \frac{3}{4096} + 3$

解题步骤 15.4

在公分母上合并分子。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 192 \cdot 4096 - 3}{4096} + 3$

解题步骤 15.5

化简分子。

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解题步骤 15.5.1

将 $- 192$ 乘以 $4096$ 。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786432 - 3}{4096} + 3$

解题步骤 15.5.2

从 $- 786432$ 中减去 $3$ 。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435}{4096} + 3$

解题步骤 15.6

将负号移到分数的前面。

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + 3$

解题步骤 15.7

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4096}{4096}$ 。

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + 3 \cdot \frac{4096}{4096}$

解题步骤 15.8

组合 $3$ 和 $\frac{4096}{4096}$ 。

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + \frac{3 \cdot 4096}{4096}$

解题步骤 15.9

在公分母上合并分子。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435 + 3 \cdot 4096}{4096}$

解题步骤 15.10

化简分子。

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解题步骤 15.10.1

将 $3$ 乘以 $4096$ 。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435 + 12288}{4096}$

解题步骤 15.10.2

将 $- 786435$ 和 $12288$ 相加。

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 774147}{4096}$

解题步骤 15.11

将负号移到分数的前面。

$2 \sqrt{9218} - \frac{774147}{4096}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \sqrt{9218} - \frac{774147}{4096}$

小数形式：

$3.02009978 \dots$

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