微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x \cot (x)}{\sec (2 x)}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{lim_{x \to 0} \sec (2 x)}$

解题步骤 1.2

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (lim_{x \to 0} 2 x)}$

解题步骤 1.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 \cdot 0)}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $x \cot (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $x \cot (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $x \cot (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $x \cot (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$\frac{1}{\sec (2 \cdot 0)}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $\sec (2 \cdot 0)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}}$

解题步骤 9.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$ 。

$1 \cos (2 \cdot 0)$

解题步骤 9.3

将 $\cos (2 \cdot 0)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 \cdot 0)$

解题步骤 9.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\cos (0)$

解题步骤 9.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

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