微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$

解题步骤 1

计算 $\frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\frac{1}{3 + h} - 3^{- 1}}{h}$

解题步骤 2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\frac{1}{3 + h} - \frac{1}{3}}{h}$

解题步骤 2.1.3

要将 $\frac{1}{3 + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{1}{3 + h} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{h}$

解题步骤 2.1.4

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 + h}{3 + h}$ 。

$\frac{\frac{1}{3 + h} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + h}{3 + h}}{h}$

解题步骤 2.1.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(3 + h) \cdot 3$ 的形式。

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解题步骤 2.1.5.1

将 $\frac{1}{3 + h}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{3}{(3 + h) \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + h}{3 + h}}{h}$

解题步骤 2.1.5.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{3 + h}{3 + h}$ 。

$\frac{\frac{3}{(3 + h) \cdot 3} - \frac{3 + h}{3 (3 + h)}}{h}$

解题步骤 2.1.5.3

重新排序 $(3 + h) \cdot 3$ 的因式。

$\frac{\frac{3}{3 (3 + h)} - \frac{3 + h}{3 (3 + h)}}{h}$

解题步骤 2.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 - (3 + h)}{3 (3 + h)}}{h}$

解题步骤 2.1.7

以因式分解的形式重写 $\frac{3 - (3 + h)}{3 (3 + h)}$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

运用分配律。

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

解题步骤 2.1.7.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{3 - 3 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

解题步骤 2.1.7.3

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\frac{0 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

解题步骤 2.1.7.4

从 $0$ 中减去 $h$ 。

$\frac{\frac{- h}{3 (3 + h)}}{h}$

解题步骤 2.1.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{h}{3 (3 + h)}}{h}$

解题步骤 2.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{h}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 2.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

将 $- \frac{h}{3 (3 + h)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- h}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 2.3.2

从 $- h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot - 1}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 2.3.3

约去公因数。

$\frac{h \cdot - 1}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 2.3.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{3 (3 + h)}$

解题步骤 2.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3 (3 + h)}$

微积分学 示例

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