微积分学示例

$lim_{x \to 8} (x) \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

解题步骤 3

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 6

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

解题步骤 6.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{8})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $π$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$8 \cdot \sin (\frac{π}{8})$

解题步骤 7.2

$\sin (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

解题步骤 7.2.2

使用正弦半角公式。

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

解题步骤 7.2.3

由于正弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

解题步骤 7.2.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.4.3

在公分母上合并分子。

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.4.4

将分子乘以分母的倒数。

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2.4.5

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.2.4.5.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 7.2.4.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

解题步骤 7.2.4.6

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 7.2.4.7

化简分母。

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解题步骤 7.2.4.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.4.7.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 7.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4) \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 7.3.2

约去公因数。

$2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 7.3.3

重写表达式。

$4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

小数形式：

$3.06146745 \dots$

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