微积分学示例

$lim_{x \to 0} (\frac{1}{3 x}) - (\frac{1}{x (x + 3)})$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

化简极限自变量。

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解题步骤 1.1.1

合并项。

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解题步骤 1.1.1.1

要将 $\frac{1}{3 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - (\frac{1}{x (x + 3)})$

解题步骤 1.1.1.2

要将 $- (\frac{1}{x (x + 3)})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - (\frac{1}{x (x + 3)}) \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.1.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 x (x + 3)$ 的形式。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将 $\frac{1}{3 x}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3}{3 x (x + 3)} - (\frac{1}{x (x + 3)}) \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $\frac{1}{x (x + 3)}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3}{3 x (x + 3)} - \frac{3}{x (x + 3) \cdot 3}$

解题步骤 1.1.1.3.3

重新排序 $x (x + 3) \cdot 3$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3}{3 x (x + 3)} - \frac{3}{3 x (x + 3)}$

解题步骤 1.1.1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3 - 3}{3 x (x + 3)}$

解题步骤 1.1.1.5

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x + 0}{3 x (x + 3)}$

解题步骤 1.1.1.6

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{3 x (x + 3)}$

解题步骤 1.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{3 x (x + 3)}$

解题步骤 1.1.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{3 (x + 3)}$

解题步骤 1.2

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 3}$

解题步骤 1.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 3}$

解题步骤 1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 3}$

解题步骤 1.5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

解题步骤 1.6

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 3}$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2

乘以 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{9}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{9}$

小数形式：

$0.\overline{1}$

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