微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} + 3 x + 2}{5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} + 3 x + 2}{lim_{x \to 0} 5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

解题步骤 5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{lim_{x \to 0} 5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} 9 x^{2} - lim_{x \to 0} 12 x^{3}}$

解题步骤 7

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - lim_{x \to 0} 9 x^{2} - lim_{x \to 0} 12 x^{3}}$

解题步骤 8

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - 9 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 12 x^{3}}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 12 x^{3}}$

解题步骤 10

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 12 lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 12

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 12.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{4} + 3 \cdot 0 + 2}{5 - 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 12.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{4} + 3 \cdot 0 + 2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 12.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{4} + 3 \cdot 0 + 2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 13.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0 + 2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 13.1.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 + 2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 13.1.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{5 - 9 \cdot 0 - 12 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 13.2.2

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{5 + 0 - 12 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 13.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{5 + 0 - 12 \cdot 0}$

解题步骤 13.2.4

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{5 + 0 + 0}$

解题步骤 13.2.5

将 $5 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{5 + 0}$

解题步骤 13.2.6

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{5}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{5}$

小数形式：

$0.4$

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