微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (x)}{3} + \frac{2}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (x)}{3} + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.2

因为项 $\frac{5}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5}{3} lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 1.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{5}{3} \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2

由于分子是正数，分母 $1 - \cos (x)$ 趋向于零且对于在 $0$ 两边的 $x$ 大于零，所以函数无限递增。

$\frac{5}{3} \sin (lim_{x \to 0} x) + \infty$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5}{3} \sin (0) + \infty$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{5}{3} \cdot 0 + \infty$

解题步骤 4.1.2

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $0$ 。

$0 + \infty$

解题步骤 4.2

将 $0$ 和 $\infty$ 相加。

$\infty$

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