微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\tan (x - 1)} - \frac{2}{\tan^{2} (x) - 1}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (x - 1)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\frac{\sin (x - 1)}{\cos (x - 1)}} - \frac{2}{\tan^{2} (x) - 1}$

解题步骤 1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x - 1)}{\cos (x - 1)}$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x - 1)}{\sin (x - 1)} - \frac{2}{\tan^{2} (x) - 1}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{\cos (x - 1)}{\sin (x - 1)}$ 转换成 $\cot (x - 1)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x - 1) - \frac{2}{\tan^{2} (x) - 1}$

解题步骤 2

合并项。

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解题步骤 2.1

要将 $\cot (x - 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\tan^{2} (x) - 1}{\tan^{2} (x) - 1}$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cot (x - 1) (\tan^{2} (x) - 1)}{\tan^{2} (x) - 1} - \frac{2}{\tan^{2} (x) - 1}$

解题步骤 2.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cot (x - 1) (\tan^{2} (x) - 1) - 2}{\tan^{2} (x) - 1}$

解题步骤 3

因为函数从左边趋于 $\infty$ 且从右边趋于 $- \infty$ ，所以极限不存在。

$不存在$

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