微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\tan (5 x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (5 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

解题步骤 1.2

将 $\tan (4 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

解题步骤 1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ 转换成 $\tan (4 x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ 转换成 $\cot (5 x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cot (5 x)$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

解题步骤 3

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

解题步骤 4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

解题步骤 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x)$

解题步骤 6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

解题步骤 7

将 $\frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

解题步骤 7.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\tan (2 (2) \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

解题步骤 8.1.2

约去公因数。

$\tan (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

解题步骤 8.1.3

重写表达式。

$\tan (2 π) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

解题步骤 8.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\tan (0) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

解题步骤 8.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

解题步骤 8.4

组合 $5$ 和 $\frac{π}{2}$ 。

$0 \cdot \cot (\frac{5 π}{2})$

解题步骤 8.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$0 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

解题步骤 8.6

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$0 \cdot 0$

解题步骤 8.7

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$0$

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